Teoria de Probabilidad

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

Introducción:

En el contexto general de la estadística, las asignaciones de carácter probabilístico, nos dan la posibilidad de ejercer un control de la inevitable variabilidad de los resultados de un experimento.

Para simplificar lo observado en los fenómenos sujetos a estudio, necesariamente recurrimos a la construcción de modelos de tipo determínístico oprobabilístico. Los primeros, quedan perfectamente definidos en cuanto se conocen los factores que en ellos interviene. Por ejemplo: fuerza = masa x aceleración; capital = activo + pasivo, etc.

En cambio, en los modelos de tipo probabilístico, y dado que sus condiciones son puramente experimentales y de carácter aleatorio (al azar ), los resultados no son predecibles y su ocurrencia se debe a lacasualidad. Estos apuntes están enfocados al estudio de este tipo de modelos.

Elementos de probabilidad

i) Experimento: Es cualquier proceso, fenómeno o suceso que genera una serie de observaciones ó medidas, llamados puntos muestrales ó elementos, con las siguientes características:

a) Es de naturaleza tal, que puede repetirse un número indeterminado de veces, ó al menos se concibe su repetición
b)Cada vez que se realice el experimento, se sujetará a las reglas necesarias con tal que su aleatoriedad quede garantizada.
c) Cada uno de sus resultados se debe a la casualidad.

ii) Espacio muestral: Equivale al universo en teoría de conjuntos, y comprende a todos y cada uno de los posibles resultados en un experimento. Se acostumbra a designarlo con la letra "S"
iii) Evento: Comprende a uno o máselementos de un espacio muestral

Espacio muestral finito: Es aquel cuyo número de elementos está bien definido, es medible y el número de sus elementos es susceptible de contarse.

Espacio muestral infinito: El número de sus elementos está indefinido, es decir no son susceptibles de contarse, por ejemplo: los puntos de un segmento de recta.

Espacio muestral de eventos equiprobables: Loselementos de este espacio tienen la misma posibilidad de participar como resultado, por ejemplo: los números que presentan las caras de un dado legal

Asignaciones de probabilidad: Asignar probabilidades, equivale a otorgar valores de seguridad en la ocurrencia o no de cierto o ciertos eventos de interés en un experimento. Las formas que comúnmente utilizamos para asignar probabilidades son:

i)Asignación a priori: También se le conoce como asignación casuística, no tiene sustento matemático, solo el sentir individual. Por ejemplo decir: la probabilidad que hoy llueva es del 80'%.
ii) Asignación a Posteriori: Hace uso de modelos matemáticos, construidos a través de repetidos experimentos, conformando un patrón matemático, por ejemplo: La inferencia estadística con recta de regresión ydistribuciones probabilísticas de tipo continuo, conceptos que serán estudiados en la parte de estadística inferencial.
iii) Asignación clásica: Se basa en hechos que son justificado por los puntos muestrales del universo de un experimento, de los cuales, algún ó algunos de ellos son de nuestro interés y por lo tanto les llamaremos eventos con éxito . Es necesario designar con "N(E)" al número de elementoscon éxito del espacio muestral, mientras que con "N(S)" al número de elementos totales del experimento. Así:

Si E es la de ocurrencia del evento de interés , entonces su probabilidad es:

Axiomas de probabilidad: Además de coadyuvar en la solución de problemas, estas reglas delimitan algunos procedimientos a seguir:

La probabilidad de un evento cualquiera no será menor que cero ni mayor a uno:0  P(E)  1

Por lo tanto:
P(Ф) = 0, por ejemplo la probabilidad de obtener un siete en el lanzamiento de un dado es cero ( no tiene siete).
P(S) = 1, se trata del evento seguro. Por ejemplo la probabilidad de obtener un sol ó una águila en el lanzamiento de dos monedas es uno, (cae sol o cae águila).

Si A 1 A 2 A 3 … es una serie de eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A1) + P(A2)...