TEORIA TRANSFORMACION DE COORDENADAS

TRANSFORMACION DE COORDENADAS

Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.

Analíticamente, la ley se expresa por una omás ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación.


TRANSLACIÓN DE EJES COORDENADOS

Es cambiar los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posiciónoriginal. Una vez que el origen de un sistema de ejes X e Y se cambia al punto O´ (h, k) en el sistema original, es necesario dar a cada punto P(X, Y) en el sistema original un nuevo conjunto de coordenadasP´ (X´, Y´) en el nuevo sistema, de acuerdo con las siguientes relaciones:

X = X´ + h Y = Y´ + k
X, Y = Son las coordenadas primitivas del punto original.
X´, Y´ = Son las coordenadas del nuevopunto trasladado.
El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento posterior.

ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
Se dice que los ejes coordenados sonrotados si permaneciendo fijo el origen ambos ejes giran el mismo ángulo alrededor del origen.
 La principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema decoordenadas que en el sistema original.

X = = r θ) Pero θ = θ’ + α Entonces Resulta rθ’ + α)
Y = = r Pero θ = θ’ + α Entonces Resulta r
X’ =O = r
Y’ = = r
X = rθ’ + α) = r
Y = r = r rcosθ’sen α + rsen θ’cos α 
Pero: X’ =r ; Y’ = r
X = r = X’ - Y’
Y = r cos θ’sen α + r sen θ’cos α  = X’ + Y’


Al sustituir las expresiones (1) y (2) en la ecuación general de segundo grado:
AX2 + BXY+ CY2 + DX + EY + F = 0 y después de hacer operaciones y simplificaciones se obtiene la ecuación: 
A’X’2 + B’X’Y’ + C’Y’2 + D’X’ + E’Y’ + F’ = 0
En donde: 

A’ = A cos2 α + Bsen α + Csen2 α 

B’ = Bcos (2α) – (A – C) sen (2α) 

C’ = Asen2 α - Bsen α cos α + Ccos2 α 

D’ = Dcos α + E sen α 

E’ = Ecos α - Dsen α 

F’ = F 
Como parte fundamental de la simplificación de la ecuación general es...