TeoriadeCodigos Paez Osuna

Notas sobre Teor´ıa de C´odigos y Campos de
Funciones
Octavio P´aez Osuna
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias, UNAM
September 13, 2012

´Indice
1 Campos finitos y el campo de funciones racionales
1.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Campos finitos . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
1.4 El automorfismo de Frobenio. Existencia de Campos finitos .
1.5 Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Ejemplos de campos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 El campo de funciones racionales K(x) . . . . . . . . . . . .
1.8 Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
2 C´
odigos Correctores de Errores
2.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 C´odigos de Reed-Solomon . . . . . . . . . . . . . .
2.4 C´odigos MDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Interpolaci´on de Lagrange . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Decodificaci´on en RS(k, q) .. . . . . . . . . . . . .
2.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 C´odigos Simplex y de Hamming . . . . . . . . . . .
2.9 C´odigos perfectos y empaquetado por esferas . . . .
2.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 M´etodo Geom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 C´odigos asociados a conjuntos de puntos . .
2.11.2 C´odigosrelacionados a c´onicas . . . . . . . .
2.11.3 C´onicas sobre campos finitos de orden impar
2.11.4 Cota de Griesmer . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.13 Construcciones recursivas . . . . .
2.13.1 Proyecci´on y acortamiento
2.13.2 Alargamiento . . . . . . .
2.13.3 Construcci´on X . . . . . .
2.13.4 Construcci´on XX . . . . .
2.13.5 Encadenamiento . . . . .
2.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . .

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3 C´
odigos c´ıclicos
3.1 C´odigos c´ıclicos . . . . . . . . . . .
3.2 Codificaci´on sistem´atica . . . . . .
3.3 Decodificaci´on . . . . . . . . . . . .
3.4 Ejemplos . . . . . . . . . .. . . . .
3.5 Ceros de un c´odigo c´ıclico . . . . .
3.5.1 C´odigos BCH . . . . . . . .
3.6 El idempotente de un c´odigo c´ıclico
3.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

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4 Campos de Funciones Algebraicos
4.1 Lugares y Valoraciones . . . . . .
4.2 El teorema de aproximaci´on d´ebil
4.3 Divisores . . . . . . . . . . . . . .
4.4 El Teorema de Riemann-Roch . .
4.5 Puntos de Weierstrass . . . . . .
4.6 El Teorema del Residuo . . . . .
4.7 Extensiones Algebraicas de F/K.
4.8 C´odigos de Goppa . . . . . . . . ..
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5 Extensiones de grado dos
5.1 Campos de funciones el´ıpticos . . .
5.2 Ejemplo . . . . . . . . . ....