teorias de colas

Ejercicios de Teor´a de Colas
ı
Investigaci´ n Operativa
o
Ingenier´a Inform´ tica, UC3M
ı
a
Curso 08/09
1. Demuestra que en una cola M/M/1 se tiene:
L=

ρ
.
1−ρ

2. Demuestra que en una cola M/M/1 se tiene:
Lq =

ρ2
.
1−ρ

3. En un servidor de la universidad se mandan programas de ordenador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor con una tasa de 10 por minuto.El tiempo medio de ejecuci´ n de cada programa
o
es de 5 segundos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecuci´ n se distribuyen exo
ponencialmente.
a) ¿Qu´ proporci´ n de tiempo est´ el servidor desocupado?
e
o
a
b) ¿Cu´ l es el tiempo esperado total de salida de un programa?
a
c) ¿Cu´ l es el n´ mero medio de programas esperando en la cola del sistema?
a
u
4. Laventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. los clientes
llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de
Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, determina
a) El porcentaje de tiempo en el que el cajero est´ desocupado.
a
b) El tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.
c) La fracci´n de clientes que deben esperar en la cola.
o
5. Una tienda de alimentaci´ n es atendida por una persona. Aparentemente el patr´ n de llegadas de
o
o
clientes durante los s´ bados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegadas de
a
10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y debido al prestigio
de la tienda, una vez que lleganest´ n dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que
a
se tarda en atender a un cliente se distribuye exponencialmente, con un tiempo medio de 4 minutos.
Determina:
a) La probabilidad de que haya l´nea de espera.
ı
1

b) La longitud media de la l´nea de espera.
ı
c) El tiempo medio que un cliente permanece en cola.
6. En una f´ brica existe una oficina de la SeguridadSocial a la que los obreros tienen acceso durante
a
las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla,
ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a un
especialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duraci´ n
o
media de la conversaci´ n que cada uno mantienecon el empleado de la ventanilla. Este analista
o
´
llega a la conclusi´ n de que durante la primera y la ultima media hora de la jornada la afluencia es
o
muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fen´ meno se puede considerar
o
estacionario. Del an´ lisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la fase
a
estacionaria, se dedujo que el n´mero medio de obreros que acud´an a la ventanilla era de 1.25 por
u
ı
periodo y que el tiempo entre llegadas segu´a una distribuci´ n exponencial. Un estudio similar sobre
ı
o
la duraci´ n de las conversaciones, llev´ a la conclusi´ n de que se distribu´an exponencialmente con
o
o
o
ı
duraci´ n media de 3.33 minutos. Determina:
o
a) N´ mero medio de obreros en cola.
u
b) Tiempomedio de espera en la cola.
c) Compara el tiempo perdido por los obreros con el tiempo perdido por el oficinista. Calcula el
coste para la empresa, sin una hora de inactividad del oficinista vale 250 euros y una hora del
obrero 400 euros. ¿Ser´a rentable poner otra ventanilla?
ı
7. Una entidad bancaria considera la posibilidad de instalar una red de cajeros en una de sus oficinas.
´
Dado que sedesconoce la afluencia de p´ blico que va a demandar dicho servicio, coloca un unico
u
cajero durante un mes. Diariamente se recogen datos sobre los tiempos de llegadas de los clientes,
as´ como de los tiempos de servicio. Suponiendo que la sucursal se encuentra emplazada en un barrio
ı
dende no existe otro servicio semejante, el cliente que llega prefiere esperar a poder utilizar el cajero,...