Termodinamica

SUBTEMA 3.7.1. MOMENTO DE INERCIA DE LOS CUERPOS.

Hemos visto que una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una velocidad lineal dada por:

v = ω R
Si la partícula tiene una masa m, tendrá una energía cinética que se obtiene por:

Ek = ½ mv2 = ½ m ω2 R2.

Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversasdistancias del eje de rotación. La energía cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo. Así,

Ek = Σ1/2m ω2 r2.

Puesto que la constante ½ y la velocidad angular ω son las mismas para todas las partículas, se puede reorganizar la ecuación anterior y obtener:

Ek = ½ (Σ mr2) ω2 .

La cantidad entre paréntesis Σ mr2, tiene elmismo valor para un cuerpo dado independientemente de su estado de movimiento. Se define esta cantidad como el momento de inercia y se expresa por I:

I = m1r21 + m2r22 + m3r23 + …

o bien : I = Σ mr2 .

La unidad del Sistema Internacional para el momento de inercia es kg. m2. y la unidad para el sistema Inglés es el slug . ft2. Utilizando esta definición, podemos expresar la energíacinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular:

Ek = ½ I ω2 .

Note la similitud entre los términos m para el movimiento lineal e I para el movimiento rotacional.

Ejercicios de momento de inercia y energía cinética rotacional.

1.- Calcule el momento de inercia para el sistema ilustrado en la figura siguiente. El peso de las barras que unen lasmasas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 6 rad/seg. ¿Cuál es la energía cinética rotacional?. Considera que las masas están conectadas en un punto.



Solución:

I = m1r21 + m2r22 + m3r23 + m4r24.
I = (2 kg) (0.5 m)2 + (4 kg) (0.2 m)2 + (2 kg) (0.5 m)2 + (4 kg) (0.2 m)2.

I = (0.50 + 0.16 + 0.50 + 0.16) kg.m2.

I = 1.32 kg. m2.

La energía cinéticarotacional está dado por:

Ek = ½ I ω2 . = ½ (1.32 kg. m2) (6 rad/seg)2 = 23.8 Joules.

Para cuerpos que no están compuestos por masas separadas, sino que son en realidad distribuciones continuas de material, los cálculos del momento de inercia son más difíciles y generalmente requieren conocimientos de cálculo integral. En el cuadro siguiente se muestran algunos ejemplos sencillos, junto con lasfórmulas para calcular sus momentos de inercia.

Cuerpo Fórmula
Aro delgado I = mR2.
Aro delgado alrededor de uno de sus diámetros. I = ½ mR2.
Disco sólido I = ½ mR2.
Cilindro sólido I = ½ m R2.
Cilindro hueco I = ½ m(R12+R22)
Barra delgada, eje a través de su centro. I = 1/12 ml2.
Barra delgada, eje en uno de sus extremos. I = 1/3 ml2.
Esfera sólida, eje en su diámetro I = 2/5 mR2.Esfera hueca de pared delgada. I = 2/3 mR2.

A veces es conveniente expresar la inercia rotacional de un cuerpo en términos de su radio de giro k. Esta cantidad se define como la distancia radial del centro de rotación a la circunferencia en la cual se puede considerar concentrada la masa total del cuerpo sin cambiar su momento de inercia. De acuerdo con esta definición, el momento de inercia secalcula a partir de la fórmula:

I = mk2.
Donde m representa la masa total del cuerpo que gira y k es su radio de giro.

2.- Una masa de 2 kg y una masa de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm. Se hace girar el sistema horizontalmente a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg. ¿Cuál es el momento de inercia en torno de este eje? ¿Cuál es la energía cinéticarotacional?



300 rev/min x 1 min/60 seg = 5 rev/seg.
ω = 2 π F = 2 x 3.14 x 5 rev/seg = 31.4 rad/seg.
I = m1r12 + m2r22 = (6 kg) (0.1 m)2 + (2 kg) (0.20 m)2. = 0.06 kg.m2 +0.08 kg.m2.
I = 0.14 kg.m2.
Ek = ½ I ω2 . = ½ 0.14 kg.m2 x (31.4 rad/seg)2. = 69.1 Joules.

3.- La rueda de una bicicleta pesa 1.2 kg y tiene 70 cm de radio; además, tiene rayos cuyo peso es insignificante. Si...