Terrell

El Estadístico Gradiente
George R. Terrell

Resumen: Se propone una alternativa usual a test estadísticos con muestras grandes, el estadístico gradiente. Su comportamiento es similar a los otros asintóticamente, pero en muchos casos se necesita una más forma simple y es más fácil de calcular. Esta es una serie de Edgeworth -like para mejorar las aproximaciones de probabilidad en el casounivariado.

Palabras clave: métodos de probabilidad; puntuación estadística (Rao); Estadístico de Wald; asintótica con muestras pequeñas.

Introducción: Test de hipótesis con muestras grandes acerca de uno o más parámetros, más allá del caso clásico del modelo lineal normal, por lo general tienen que recurrir a aproximaciones de teoría normal. Wilks (1938) propuso la estadística de proporciónlog-verosimilitud. Otras propuestas influyentes incluyen el estadístico Wald (1943) y la estadística de puntuación de Rao (1947). Todos tienen distribución chi-cuadrado asintóticamente. Varían en cómo es conveniente de una forma que adopten, la facilidad con que se pueden calcular, y cómo es exacto es su teoría de la distribución asintótica (véase, por ejemplo Severini (2000)).
Aquí vamos a proponer unextraordinario y simple test estadístico alternativo, el estadístico gradiente, con la misma distribución asintótica. Vamos a establecer algunas propiedades, y luego desarrollar una teoría de orden superior asintótica en el caso de un solo parámetro. Nuestra herramienta será un análogo de dos puntos a una expansión Edgeworth.
I. Inferencia de estimaciones de máxima verosimilitud.
El testestadístico que vamos a investigar está estrechamente relacionado con cada uno de los tres test estadísticos más conocidos para una hipótesis , sobre un vector de parámetros de dimensión p, estimada a partir de un vector de observaciones , con probabilidad .
Sea . La condición , determinará la estimación de máxima verosimilitud. Recuerde que, en condiciones de regularidad leves, el vector de puntuación, sedistribuye asintóticamente . Entonces es inmediato que la estadística de puntuación Rao:
es asintótica, chi-cuadrado con p grados de libertad.
Bajo condiciones de regularidad mucho más fuertes, el máximo estimador de probabilidad es asintóticamente , de modo que una versión del test de Wald:
Tiene la misma distribución asintótica.
(Versiones alternativas de los test con la misma distribuciónasintótica, usan información calculada de la máxima verosimilitud o estiman de los datos, que son a menudo más conveniente en la práctica) Por otra parte, es un corolario de las pruebas habituales de la distribución de y el vector de puntuación esta correlacionado perfectamente asintóticamente.
Para realizar la conexión explícita, se elige cualquier raíz cuadrada de la matriz de información;es decir, encontrar una solución cuadrada . A continuación, los vectores de prueba estandarizadas y tienen distribuciones asintóticas ; en efecto, los dos vectores convergen entre sí en probabilidad. Entonces, el producto interno de estos vectores de test estandarizados, también tiene distribución chi-cuadrado asintotica:

Esta última expresión es notablemente más simple que las estadísticasequivalentes de la que se deriva, que no implica conocimiento, ni estimaciones de la información y no hay matrices. Nótese también que a diferencia de sus progenitores, es simétrica en la hipótesis y los observados (recordar que ). Esto sugiere que son independientes.
Definición: Dado un vector de observación , la hipótesis que surgen de una densidad  depende de un vector deparámetros  p-dimensional, sea la log-verosimilitud denotado por  . Sea una estimación de θ. Entonces el estadístico gradiente para los test de hipótesis  será: 


Ejemplo 1: Sean los conteos en un conjunto de k categorías independientes, han observado conteos , la hipótesis a seguir se distribuyen Poisson . Luego, por supuesto , . Hasta una constante aditiva, la log-verosimilitud es: .
Entonces , la bondad de...