Determinantes 14

DETERMINANTES

Tema 2: DETERMINANTES

Índice
1. Definición.
1.1. Determinantes de orden 2.
1.2. Determinantes de orden 3. Regla de Sarrus
2. Propiedades de los determinantes.
3. Aplicaciones de los determinantes
3.1. Menor complementario. Matriz adjunta.
3.2. Cálculo de un determinante a partir de los elementos de una línea.
3.3. Cálculo de la matriz inversa de una matriz.
3.4. Cálculo del rangode una matriz.

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1. DEFINICIÓN.
1.1. Determinantes de orden 2.
 2 3

 , si restamos al producto de los elementos
Dada la matriz de orden dos A = 
 5 4
de la diagonal principal, el de los elementos de la diagonal secundaria, obtenemos
2 ⋅ 4 − 3 ⋅ 5 = −7 . Este valor se denomina determinante de la matriz A, y lo
representaremos como:

det (A)= A = −7
a

a 

Dada la matriz cuadrada desegundo orden A =  11 12  , se
 a21 a22 
llama determinante de A al número real:
A =

a11
a21

a12
= a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
a22

Ejercicio resuelto:
 1

3


Halla el determinante de la matriz A = 
 − 2 4

A = 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ (− 2) = 10

1.2. Determinantes de orden 3. Regla de Sarrus.
 a11

Dada una matriz de tercer orden A =  a 21
a
 31

a12
a 22
a32

a13 

a 23  , se llama
a33 determinante de A al número real que se obtiene al sumar todos
los productos de tres factores de distinta fila y columna.
a11
A = a21

a12
a22

a13
a23 = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a32 ⋅ a21

a31

a32

a33
− a13 ⋅ a22 ⋅ a31 − a12 ⋅ a33 ⋅ a21 − a11 ⋅ a32 ⋅ a23

Es fácil recordar el desarrollo del determinante de tercer orden mediante la regla de
Sarrus:
2

Los que llevan signo +son los que se
obtienen con:
• Los elementos de la diagonal
principal.
• Los elementos de las dos líneas
paralelas a la diagonal principal con
sus correspondientes vértices opuestos.
Los que tienen signo - son los que se obtienen con:
• Los elementos de la diagonal secundaria.
• Los elementos de las dos líneas paralelas a la diagonal secundaria con su
correspondiente vértice opuesto.
Ejercicioresuelto:
1 2 −1


Halla el determinante de la matriz A =  2 0 1 
 0 1 − 2


A = 1 ⋅ 0 ⋅ (−2) + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ⋅ (−1) − (−1) ⋅ 0 ⋅ 0 − 2 ⋅ 2 ⋅ (−2) − 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = −2 + 8 − 1 = 5

2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.
A = At

2. Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) con todos sus términos
nulos, su determinantees cero.
3. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante
cambia de signo.
det( A1 , A 2 ,.... A j , A k .... A n ) = − det( A1 , A 2 ,.... A k , A j ,..... A n )
det( A1 , A2 ,...., A j , Ak ,... An ) = − det( A1 , A2 ,.... Ak , A j ,... An )

4. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es
cero.
5. Si multiplicamos por un mismo númerotodos los elementos de una línea de
una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número.
det( A1 , A 2 ,....α ⋅ A j ,.... A n ) = α ⋅ det( A1 , A 2 ,.... A j ,..... A n )
3

det( A1 , A2 ,...., α ⋅ A j ,... An ) = α ⋅ det( A1 , A2 ,.... A j ,... An )

6. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas proporcionales, su
determinante es cero.
7. El determinante de una matrizes una función lineal.
det( A1 , A 2 ,....B + C ,..... A n ) = det(A1 , A 2 ,....B,.... A n ) + det(A1 , A 2 ,....C ,.... A n )
det( A1 , A2 ,....B + C ,..... A) = det(A1 , A2 ,....B,.... An ) + det(A1 , A2 ,....C ,.... An )

abde ve

8. Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de sus demás
paralelas, su determinante no varía.
9. Si una matriz tiene una línea que escombinación lineal de las demás paralelas,
entonces su determinante es cero.
10. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus
determinantes.
A⋅ B = A ⋅ B

3. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES.
3.1. Menor complementario. Matriz adjunta.
1 
3 2


Dada la matriz de tercer orden A =  5 4 0  , si suprimimos la primera fila y la
 2 − 1 − 3


primera columna, tendremos la...