Tesis de las pymes

1.-ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

DEFINICION ORDEN GRADO Y LINEABILIDAD

Una ecuación diferencial es una igualdad en la que intervienen:
a) Una o varias variables independientes
b) La variable dependiente o función incógnita
c) Las derivadas de la función incógnita
Si la función incógnita es solo función de una variable, la ecuación diferencial se llama ordinaria.
Si lafunción incógnita es función de más de una variable, la ecuación diferencial se llama en derivadas parciales.
En este curso solo estudiaremos las ecuaciones diferenciales ordinarias.
FORMA IMPLICITA: F(x,y(x),y´,y´´,...,y(n))= 0
FORMA EXPLICITA: y(n)= f(x,y(x),y´,y´´,...,y(n-1))

ORDEN

Esta dado por el orden de la mayor derivada que interviene en la ecuación.

GRADO

Es el exponente (nºnatural) al que esta elevada la derivada de mayor orden que interviene en la ecuación.

LINEABILIDAD

Es una familia de curvas n-paramétricas (es decir, con n constantes) de la forma:
Y= (x,c1,c2,...,cn)
El nº de constantes corresponde al orden de la ecuación diferencial.
En esta unidad estudiaremos solo las ec. Diferenciales de 1º orden, es decir:
F(x,y(x),y´)=0

Y la solución es de laforma y=(x,c1)
Se distinguen tres tipos de soluciones (curvas integrales)

1) Solución general: Es el conjunto de todas las curvas que verifican la ecuación.

2) Solución particular: Es una de las curvas que conforman la solución general. Se halla conociendo ciertas condiciones iniciales.

3) Solución singular: es una curva que, sin formar parte de la solución general, también es solución dela ecuación (no toda ecuación diferencial tiene solución.

SEPARACION DE VARIABLES Y REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES

Las ecuaciones a variables separadas son de la siguiente forma:
f(y)dy = g(x)dx

Se resuelve integrando ambos miembros:
"f(y)dy = "g(x)dx
H(y)= G(x)+C

En cambio, si tenemos una ecuación diferencial de la siguiente forma:
F(x,y(x))dy = g(x,f(x))dx
Si es posibledescomponer ambos miembros de la igualdad en producto de funciones de una sola variable, es decir:
F(x,f(x)) = f1(x).f2(f(x))
G(x,f(x)) = g1(x).g2(f(x))

Resulta una ecuación diferencial a variables separables:
f1(x).f2(y(x))dy = g1(x).g2(f(x))dx

Agrupamos según las variables:
f2(y(x))/g2(y(x))dy = f1(x)/g1(x)dx

Integro en ambos miembros y resuelvo:
"f2(y(x))/g2(y(x))dy = "f1(x)/g1(x)dxH(y(x))= G(x)+C

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDENES EN OERDEN N CON COEFICIENTES CONSTANTES Y HOMOGENEAS

Recordamos la definición de función homogénea:
Una función f(x,y) es homogénea de grado `m' si se verifica la siguiente igualdad:
F(x,y) = f(x,y) R

A partir de ahora nos interesaran únicamente las funciones homogéneas de grado cero.

Estas funciones poseen una característicaespecial: siempre es posible expresarlas como una función del cociente y/x o x/y.

DEFINICION DE ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGENEA DE 1º GRADO

Es de la forma y´=f(x,y) una función homogénea de grado cero.

Teniendo en cuenta la característica especial de las funciones homogéneas de grado cero podemos expresar a la ecuación dada así:
Y´=f(y/x)

Por lo tanto, la sustitución apropiada es:Y(x)/x=z(x) (z es función de la misma variable independiente que y/x)
Y(x)=z(x).x
Y´(x)=z(x)+x.z´(x)

Sustituimos en la ecuación diferencial
y´=f(y/x)
z + x.dz/dx = f(z)

Separo las variables:
x.dz/dx = f(z)-z
dz/(f(z)-z) = dx/x
Integro ambos miembros:
"dz/(f(z)-z) = "dx/x
G(z) = ln(x) + ln C
G(z) = ln (Cx)

Vuelvo a las variables x e y, por prop.de logaritmos y nº e:
G(y/x)
! = CxECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGENEAS

Son de la forma y´=(a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2) con a1,a2,b1,b2,c1,c2 R, c1"0 o c2"0 (pues si c1=0 y c2=0 seria homogénea)
Se presentan tres casos:

1) a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = k (k=cte;k"0)(rectas paralelas coincidentes o superpuestas)
Por lo tanto: a1=a2.k ; b1=b2.k ; c1=c2.k

Reemplazamos en la ecuación:
y'=f(k.a2x+k.b2y+k.c2/a2x+b2y+c2)...