Tesis

UNIDAD 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA

PROFESOR: FAUSTINO BARRERAZ

NOMBRE: BEJARANO ARMENTA RI SARATHIEL

MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL

NUMERO DE CONTROL: 12440280

5.1 Teorema de rolle, teorema de lagrange o de valor medio del caculo diferencial

Sea f una función continua sobre [a, b] y diferenciable sobre (a, b).Entonces en (a, b) existeunnúmero c talque
f'(c)fb-f(a)b-a.DEMOSTRACION. Como se muestra en la FIGURA 5.3.6, sea d(x) la distancia vertical entre un punto sobre la gráfica de y=f(x) y la recta secante que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)). Puestoque la ecuación de la recta secantees

Puesto que d(a)=d(b)=0 y d(x) es continua sobre [a, b] y diferenciable sobre (a, b), el teorema de Rolle implica que en (a, b) existe un número c para el cual d’(c)=0. Entonces,Como se indica en la FIGURA 5.3.7, en (a, b) puede haber más de un número c para el que las rectas tangente y secante son paralelas.

5.2 función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

Hay dos tecnicas directas para encontrartales puntos, estas t\ecnicas ge-ne-ralmente se denominan criterio de la primera derivada y criterio de la segunda derivada.
Para entrar en materia necesitamos definir con precisi\on que entenderemos por maximo, mínimo, etc.
Sea , diremos que es el valor m\aximo de la funcion (\o Valor M\aximo absoluto de o simplemente el m\aximo de ) si para todo elemento se cumple En forma totalmentean\aloga se define mínimo absoluto o mí nimo. es el valor mínimo absoluto en si

Note que necesariamente el valor m\aximo (el valor mínimo) es la imagen de un punto ; Se dice ``en est\a el m\aximo de ''(``en est\a el mínimo de ").
Si no es inyectiva, puede existir varios otros elementos de donde alcance el valor m\aximo o el valor mínimo, sin embargo el valor m\aximo o el valor mínimo absoluto siexisten son \unicos.
Por ejemplo la funci\on no es inyectiva, el valor m\aximo de es y el valor mínimo de es y estos valores son alcanzados en m\as de un punto.
Hay otro concepto de m\aximo (o mínimo) de que es menos exigente, este es m\aximo local o relativo (mínimo local o relativo).
En el gráfico de ventas de un producto en el año, una multitienda tiene dos "grandes" meses de ventas Marzo yDiciembre (ver gráfico siguiente)

pero claramente ambos no son máximo absolutos.
* Sea . Diremos que en hay un m\aximo relativo o m\aximo local si existe una vecindad de tal que es el m\aximo absoluto de la funci\on , es decir, , an\alogamente se define mínimo local
* Sea . Diremos que tiene un m\aximo relativo estricto en si existe una vecindad de tal que . An\alogamente se definemí nimo relativo estricto
* Sea una función continua con gráfica dada en la figura

. Claramente es el máximo absoluto, a diferencia de los valores que son solamente máximo relativo y de los valores que son mínimos relativos unicamente ( son también relativos) Diremos que un valor con es un valor extremo de en si es el m\aximo o mínimo de alguna especie en y punto extremo al punto dondealcanza el valor extremo. Sea . La gr\afica de es un trozo de una par\abola y claramente se puede notar mediante su gr\afica que es el mínimo absoluto y que es el m\aximo absoluto (tambi\en relativo) y m\aximo absoluto estricto. En este caso tiene tres valores extremos . Sea . Como la funci\on es estrictamente decreciente tiene s\olo dos valores extremos que es el m\aximo absoluto en . que es elmínimo absoluto en . Sea . Claramente es estrictamente creciente, por lo tanto el m\aximo se encuentra en , y este es . Pero esta funci\on no tiene un mínimo, ya que , sin embargo es acotado inferiormente por , pues

No podemos decir que es mínimo absoluto ni local ya que \el debe ser imagen de un elemento del dominio que se est\a utilizando, en este caso
En estos dos \ultimos ejemplos se puede...