TEXTO MATE

A. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA
La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

(4a)

Y la solución de la misma viene dada por:

(4b)

En el caso particular y , la solución es:

(4c)

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variableindependiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:
(1a)
o en su forma implícita:
(1b)
Ejemplos de ecuaciones diferenciales
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:
(2a)
se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de laecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:
(2b)

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL








3. VARIABLES SEPARABLES
Se dice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible escibir la ecuación en la forma
 

El factor integrante , es decir, si multiplicamos esta expresión por esta cantidad tendremos

lo cual resulta fácil deintegrar siendo  una función de la variable x y una función de y, sin embargo, para la obtención de la solución es importante considerar si las funciones son integrables. 
Ejemplo de variables separables
1.- Encontremos la solución de la ecuación diferencial

Solución:

despejando tenemos:

integrando


despejando

4. ECUACIONES HOMOGENEAS
Una ecuación de la forma:

dy/dx = f(x,y)

eshomogéneasiempre que la función f no dependa de x yy aisladamente, sino únicamente de sus razones y/x o bien x/y. Así pues las ecuaciones homogéneas adoptan la forma

dy/dx = F(y/x).1
Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:



sería homogénea ya que todos los términos de ambospolinomios son de grado 3.

Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por o en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:

o bien

Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor comofunción que se ha establecido.

El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

(3a)

introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

(3b)

5. ECUACION DE BERNOULLI
Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:

(5a)

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1 vienedada por:

(5b)

Dicha solución directa puede obtenerse aplicando paso a paso el siguiente método:
1) Cambiar la variable dependiente y por una nueva variable v de la siguiente manera:



2) Se diferencia v en función de x.
3) Se despeja el diferencial dy del paso anterior y se substituye en la ecuación diferencial original (resultando una ecuación lineal).
4) Se encuentra por integración directala función v en la ecuación:


donde nuestra hachecita es:

5) Se revierte el cambio de variable desde v a yy se encuentra la solución general, en función de su variable original x.

 
La ecuación de Bernoulli

(1.12)

se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución .  
Demostración:
Al dividir la ecuación 1.12por , resulta

(1.13)
Usando la regla de la cadena,calculemos a partir de la sustitución


Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en

la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.
Ejemplo:

Resuelva la ecuación

Solución 
Ésta es una ecuación de Bernoulli con , y . Para resolverla primero dividamos por


Ahora efectuemos la transformación . Puesto que , la ecuación se transforma en


Simplificando...