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Ejercicio 1
Dos postes de 15 y 20 pies de altura, distan 21 pies entre si. El extremo superior de cada uno está unido mediante un tirante a una estaca situada en el suelo y en línea recta entre los postes. En qué lugar debe colocarse debe colocarse la estaca para que el tirante tenga longitud total mínima?
Solución
Designamos por L la longitud del tirante, y por X la distancia de la estacaal poste más pequeño.
En la figura como se muestra se tiene: L=Y + Z
El siguiente paso es expresar las variables Y y Z en términos de la derivada X, haciendo uso del teorema de Pitágoras, esto es:
En el :
Y=
En le
Z=
Luego en la ecuación primaria se obtiene el modelo matemático:
L(X)=
El dominio de la función es: X [0, 21]
Localizamos los números críticos
L’(X)=
Si L’(X)=0 De donde:
Usaremos el método ´para hallar extremos en un intervalo cerrado, esto es, si X y como X=9 es el único numero crítico, entonces
L (0)=
L (9)=
L (21)=
Se concluye que el tirante debe fijarse a 9 pies del poste 15
Ejercicio 2
Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares. Que dimensiones se debe elegir para que el área encerradasea máxima.
Solución
1. Sea A el área total delos dos corrales
2. Entonces: A =2XY
3. Perímetro de la valla: 200=4X+3Y
Y=(50-X)
Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene el modelo matemático:
A(X)=(50X-)
4. Dominio de la función A:
Como A050X-0 X
5. Localización de los números críticos
A’(X)=(50-2X)
Si A´(X)=0  50-2X=0,
Luego, el número critico X=25 producen un máximoabsoluto en la función A. por tanto, las dimensiones que debe elegir el granjero son:
X=25 pies, Y=(50-25)=pies
Ejercicio 3
Una página rectangular debe contener 432 de material impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 4 cm de anchura y los laterales 3cm. Que dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerida?
Solución
1. Sea a y b las dimensiones de la página yX e Y las dimensiones del material impreso. Si A es el área que debemos optimizar, entonces:
2. A=(X+6)(Y+8)
3. El área impresa es: 432=XY  Y=
Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene
A(X)=(X+6) ()= 480+8x+
4. Solo interesa los valores de A con x>0
5. Localizado los números críticos
A’(X)=8- , A’’(X)=
Si A´(X)=0  8-2592=0 X=18
Dado que X=-18 Dom(A), elegimos X=18 como úniconumero crítico y siendo A’’(X)>0, x>0, el criterio de la segunda derivada confirma que A es mínima en X=18. Luego, Y ==24, y las dimensiones de la página deben ser a=x+6=24cm, b=y+8=32cm

Ejercicio 4
Los puntos A y B están opuesto uno al otro en las riberas de un rio recto que tiene un ancho constante de 3 km. El punto D está en la misma ribera que B. se desea tender un cable de A a D. si elcosto del cable por agua es un 25% más caro que el costo del cable por tierra, que línea de cable será la menos costosa?
Solución
1. Sea K el costo del cable por tierra y 1.25K el costo del cable por agua. (el valor de K es irrelevante )
2. Entonces al expresar el costo total C en términos de las longitudes obtenemos la ecuación primaria
C=1.25K () +K ()
3. En la figura se tiene
y =6-XUsando estas ecuaciones secundarias podemos reescribir la ecuación primaria en términos de la variable X, estos es:
C(X)=1.25K
4. Dominio del a función C:X
5. Localización de los números críticos con C’’(X)=0
C’’(X)=
Si C´´(X)=01.25X=, de donde =16X=4 [0.6] es el único numero crítico. Entonces siguiendo el método de hallar el mínimo de una función continua sobre un intervalocerrado tendremos:
Si X=0 C (0)=1.25K +K (6-0)=9.75K
X=4.C (4)=1.25K +K (6-4)=98.25K
X=4.C (6)=1.25K +K (6-6)=8.38K
Por tanto, la línea del cable deberá tenderse a 4km del punto B para un costo mínimo


Ejercicio 5

a) De todas las parejas de números reales cuyas componentes tienen suma S dada encontrar aquella para la cual el producto P de las mismas es máximo....