tineo
Páginas: 289 (72094 palabras)
Publicado: 5 de octubre de 2015
´ AL ANALISIS
´
INTRODUCCION
REAL
ANTONIO TINEO
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad de los Andes
Versi´on revisada por Carlos Uzc´ategui
Enero 2005
´Indice general
1. Conjuntos y funciones
1
1.1. Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3. Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2. Sistemas num´
ericos
11
2.1. Leyes de composici´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2. Cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3. Los n´
umerosnaturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4. N´
umeros enteros y n´
umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5. Los n´
umeros reales y el axioma de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.6. Propiedades del supremo y el ´ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.7.La recta extendida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.8. Valor absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.9. Un ejemplo de un cuerpo ordenado no arquimediano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3. Definiciones recursivas y conjuntos infinitos
29
3.1. Definiciones por recursi´on . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2. Potenciaci´on y radicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3. Equipotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.4. Numerabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5. R no esnumerable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4. Sucesiones y series
45
4.1. Sucesiones y convergencia de sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2. Operaciones algebraicas sobre sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.3. Propiedades de las sucesiones convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
49
4.4. Sucesiones mon´otonas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.5. L´ımites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
i
ii
4.6. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.7. L´ımites superior e inferior . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.8. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.9. Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.10. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.11. Criterios deconvergencia de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.12. Redes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5. Topolog´ıa de la Recta
71
5.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.2. Conjuntos Abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
73
5.3. Conjuntos Cerrados y Clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.4. Puntos de Acumulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.5. Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.6. Los subgrupos aditivos de R . . . . . . . . . . . . . . . ....
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INTRODUCCION
REAL
ANTONIO TINEO
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad de los Andes
Versi´on revisada por Carlos Uzc´ategui
Enero 2005
´Indice general
1. Conjuntos y funciones
1
1.1. Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3. Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2. Sistemas num´
ericos
11
2.1. Leyes de composici´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2. Cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3. Los n´
umerosnaturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4. N´
umeros enteros y n´
umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5. Los n´
umeros reales y el axioma de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.6. Propiedades del supremo y el ´ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.7.La recta extendida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.8. Valor absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.9. Un ejemplo de un cuerpo ordenado no arquimediano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3. Definiciones recursivas y conjuntos infinitos
29
3.1. Definiciones por recursi´on . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2. Potenciaci´on y radicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3. Equipotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.4. Numerabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5. R no esnumerable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4. Sucesiones y series
45
4.1. Sucesiones y convergencia de sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2. Operaciones algebraicas sobre sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.3. Propiedades de las sucesiones convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
49
4.4. Sucesiones mon´otonas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.5. L´ımites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
i
ii
4.6. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.7. L´ımites superior e inferior . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.8. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.9. Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.10. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.11. Criterios deconvergencia de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.12. Redes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Topolog´ıa de la Recta
71
5.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.2. Conjuntos Abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
73
5.3. Conjuntos Cerrados y Clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.4. Puntos de Acumulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.5. Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.6. Los subgrupos aditivos de R . . . . . . . . . . . . . . . ....
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