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MATRICES TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES PROFR. BULMARO JAVIER ESPINOZA DE LOS MONTEROS DÍAZ

Sabemos que en general dos funciones f; g : A ! B son iguales si y sólo si f (a) = g (a) 8a 2 A. En los espacios vectoriales de dimensión …nita que son los que hemos trabajado, esta condición para la igualdad de funciones se enuncia en el siguiene resultado.

TEOREMA: Sean F; G : V ! W dostransformaciones lineales, fv1 ; v2 ; :::vn g una base de V: Si F (vi ) = G (vi ) para i = 1; 2; :::n entonces, F = G:

DEMOSTRACIÓN: Queremos convencernos de que F (v) = G (v) 8v 2 V que es la condición que debe cumplirse para que dos funciones sean iguales. Tomemos un vector cualquiera v 2 V luego este vector se puede escribir como una combinación lineal de la base de V , es decir, v=
1 v1

+2 v2

+ ::: +

n vn

Le aplicamos la transformación lineal F a este vector, F (v) = F (
1 v1

+

2 v2

+ ::: +

n vn )

como F es una transformación lineal se sigue que, F (v) =
1F

(v1 ) +

2F

(v2 ) + ::: +

nF

(vn )

y como F (vi ) = G (vi ) para i = 1; 2; :::n F (v) =
1 G (v1 )

+

2 G (v2 )

+ ::: +

n G (vn )

pero G también es una transformaciónlineal así que, F (v) = G (
1 v1

+

2 v2

+ ::: +

n vn )

1

F (v) = G (v) 8v 2 V ) F = G:

Veamos ahora algunos tipos de transformaciones lineales.

DEFINICIÓN: Sea F:V ! W una transformación lineal. a) La transformación lineal F es inyectiva (monomor…smo) si dados u; v 2 V con u 6= v entonces F (u) 6= F (v). O equivalentemente si de F (u) = F (v) se sigue que u = v: b) Latransformación lineal F es sobreyectiva (epimor…smo) si la imagen de F es todo el contradominio W , es decir si Im (F ) = W: c) La transformación lineal F es biyectiva (isomor…smo) si F es inyectiva y sobreyectiva.

EJEMPLOS: 1) Sea f : R ! R de…nida por f (x) = ex . Decidir si la función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Para la inyectividad supongamos que, f (x) = f (y) por demostrar que x =y

f (x) = f (y) ! ex = ey ! ln (ex ) = ln (ey ) ! x = y ) f es inyectiva. f no es un monomor…smo porque f no es una transformación lineal. Para la sobreyectividad veamos quien es la Im (f ) Tomemos un elemento a 2 R f (x) = a por demostrar que existe x 2 R tal que

como f (x) = ex tenemos que f (x) = ex = a 2

de donde se obtiene la ecuación ex = a con la incógnita x ex = a ! ln (ex ) =ln (a) como a es cualquier número real, puede suceder que a 0 lo cual implica que ln (a) no existe, ya que el ln solamente existe para los números reales no negativos, luego Im (f ) = fx 2 R : x > 0g = R 6 ) f no es sobreyectiva. Así que f es inyectiva pero no es sobreyectiva. ) f no es biyectiva. 2) Sea f : R ! R de…nida por f (x) = x2 . Decidir si la función es inyectiva, sobreyectiva obiyectiva. Para la inyectividad supongamos que, f (x) = f (y) por demostrar que x = y x= y

f (x) = f (y) ! x2 = y 2 ! luego x puede ser igual a ) f no es inyectiva.

y por ejemplo f (2) = f ( 2)

Para la sobreyectividad veamos quien es la Im (f ) Tomemos un elemento a 2 R f (x) = a por demostrar que existe x 2 R tal que

como f (x) = x2 tenemos que f (x) = x2 = a de donde se obtiene la ecuación x2= a con la incógnita x como a es cualquier número real, puede suceder que a < 0 lo cual implica que que no existe un x 2 R tal que su cuadrado sea un número negativo, ya que todo número real al cuadrado nos da siempre un número no negativo, luego Im (f ) = fx 2 R : x 0g = R 6

) f no es sobreyectiva. 3

Así que f no es inyectiva y tampoco es sobreyectiva. ) f no es biyectiva.

3) Sea f : R! R de…nida por f (x) = 3x inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Para la inyectividad supongamos que, f (x) = f (y) por demostrar que x = y 7 = 3y

7. Decidir si la función es

f (x) = f (y) ! 3x

7 ! 3x = 3y ! x = y

) f es inyectiva. f no es un monomor…smo porque f no es una transformación lineal. Para la sobreyectividad veamos quien es la Im (f ) Tomemos un elemento a 2 R f (x) = a...
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