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TRABAJO PRÁCTICO – ESPACIOS TOPOLÓGICOS

1- Escribir todas las topologías posibles para un conjunto de 2 elementos

2- Sea X= . Defina para X las siguientes topologías: a) La topología Trivialb) la topología Discreta c) Una topología distinta de las anteriores d) Demuestre que lo planteado en el ítem c) es realmente una topología para X.

3- Sea Y = . se define la dupla ( Y , T )siendo T =
a) Indique si la dupla ( Y , T ) define un espacio topológico. Justifique
b) De acuerdo con lo dicho en a) analice si los siguientes subconjuntos de Y son abiertos , cerrados , ambas cosas oninguna de las dos cosas. Explique


4- En X = IR si definimos que U1 = (-∞; 0], U2 = (0; 2], U3 = [1;+ ∞), U4 = [2; 3] se pide:
a) Indique si U = define una topología sobre IR. Justifique
b)Defina una topología sobre IR a partir de U

5- Supongamos que T y T ´ son dos topologías sobre un conjunto dado X. diremos que T´ es más fina que T si se verifica que T ´ T. si no se cumple lainclusión en ninguno de los sentidos, diremos que T y T´no son comparables.
Defina 5 topologías posibles para un conjunto de 3 elementos y de ser posible, compárelas.

6- ¿Cuál es la topologíamás fina que puede definirse en un conjunto? ¿Y la menos fina? Explique

7- En la topología definida en el ejercicio 3, indique si B= { {1} , {2}, } es una base de dicha topología.

8- Sea X = {a , b, c, d, e } y B = {{ a , b, c} , { c , d } , {d, e }, } la base de una topología sobre X. Encuentre esa topología

9- Complete la base del ejercicio 7

10- Sea X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }.Encuentre la topología sobre X que tenga como base a β = {{1,2},{2,4,5},{3,4,5}}. ¿podría ser β una base de la topología discreta sobre X? Explique su razonamiento



Resolución:
1) ConjuntoE= {a,b}.
topología = t1{Ø,E,}= indiscreta (topología trivial)
T2{{a,bØ,E} (topología discreta) (contiene todos los elementos)
T3{Ø,E{a}}
T4{Ø,E{b}}...