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5.1 RECTA TANGENTE
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, 
Tangente

Tangente a una curva. La línea roja es tangente a la curva en el punto marcado con un punto rojo.
En geometría ,la línea tangente (o simplemente la tangente) a una curva en un determinado punto es la línea recta que “sólo toca” la curva en ese punto (en el sentido expuesto con mayor precisión más adelante). Al pasar por el punto donde la recta tangente y la curva de la reunión, o el punto de tangencia, la línea tangente es “ir en la misma dirección”, como la curva, y en este sentido es la mejor aproximaciónlineal a la curva en ese punto. La misma definición se aplica a las curvas en el espacio y las curvas de n-dimensional del espacio euclidiano .
Del mismo modo, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que “sólo toca” la superficie en ese punto. El concepto de la tangente es una de las nociones más fundamentales de la geometría diferencial y ha sido ampliamente generalizada,ver el espacio tangente .

RECTA NORMAL
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Curvas octogonales
n matemáticas, (del griego orthos —recto— y gonía —ángulo—) esuna generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.
Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores  e  son ortogonalessi el producto escalar de  es cero. Esta situación se denota . Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.

5.2teorema de rolle
El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
*  es una función continua definida en un intervalo cerrado 
*  es derivable sobre elintervalo abierto 
*

Entonces: existe al menos un número  perteneciente al intervalo  tal que .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde lafunción alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.
Teoría de LaGrange
En la teoría de grupos, el teorema de Lagrange es un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finito G con el orden de cualquiera de sus subgrupos. Más precisamente,afirma que siG es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces
(1)
donde | G | y | H | son el orden del grupo G y el orden del subgrupo H, en tanto que [G:H] es el índice de H en G.

El recíproco del teorema de Lagrange es falso, pues existen grupos de orden m que pueden no tener un subgrupo de orden n a pesar de que . Por ejemplo, el grupo simétrico S4 tiene orden 24 y no tiene ningúnsubgrupo de orden 6. En general, los grupos no resolubles son ejemplos en los que el recíproco del teorema de Lagrange no aplica.
Por otra parte, el recíproco del teorema de Lagrange es siempre cierto para el caso de grupos abelianos, y por tanto lo es también para grupos cíclicos.
Teoría de del valor medio del calculo diferencial
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Definición
El...