todo sobre derivadas





Tema Derivadas.

Definición.

Sea f: A  IR  IR si existe una función f` con la propiedad de que el límite se dice que f` es la derivada de f con respecto a x.

Ejemplo:entonces la derivada de x es 1.

Teorema.
Si una función es derivable en punto x=a entonces f es continua en x=a. El recíproco no siempre es cierto, es decir, si f es continua en x=aeso no implica que f sea derivable en x=a.


Propiedades de la derivada.

1. Si
Si

2. Si
Si

3. Si
Si

4. Si
Si

5. Si
Si

6. Si
Si

7.Derivación exponenciales y logarítmicas, loga y = x  ax = y, a > 0.

Si
Si

Si
Si

Si
Si

Si
Si


Regla de la Cadena.

La regla de la cadena es una de lasreglas de derivación más potentes, que afecta a las funciones compuestas.
Sea


Derivación explícita e implícita.

Derivación explícita es aquella en que la “y” está escritaexplícitamente como función de “x”.
Ejemplo:

Derivación implícita es aquella en que se da una relación entre x e y por medio de una ecuación no resuelta para y, es decir, resulta difícildespejar y en función de x. En esta técnica es preciso tener en cuenta que la derivación se efectúa con respecto a x. Cuando se realiza la derivación en términos de x se hace en forma habitual,mientras que cuando se haga en términos de y será necesario aplicar la regla de la cadena.
X: variable independiente, Y: variable dependiente.

Ejemplo:




DerivaciónParamétrica.

y = f(x), donde “x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente.

y = f(u) x = g(u)

entonces

Ejemplo: Sea



Derivadas de orden superior.

Si laderivada de existe, entonces generalmente esta derivada es también función de x, por tanto podemos encontrar su derivada si existe y la denotamos por .

Ejemplo.
Sea entonces...