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TOPOLOG´ GENERAL II IA
Jos´ Luis Navarro e Departamento de Matem´ticas a Universidad de Zaragoza

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Introducci´n o Topolog´ Producto ıa Topolog´ Cociente ıa Separaci´n o Compacidad Conexi´n o Espacios Homog´neos e Grupos Lineales

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´ INTRODUCCION

La Topolog´ General tiene sus propios objetivos, pero tambi´n nutre los funıa e damentos de muchas ´reasmatem´ticas como el An´lisis, la Geometr´ y a a a ıa otros campos de la topolog´ (Topolog´ Algebraica, Topolog´ Geom´trica ıa ıa ıa e o ´ Topolog´ Diferencial). ıa Tomando como modelos los espacios m´tricos, se ha definido sobre un conjunto e X una topolog´ τ ⊂ P(X) y el par (X, τ ) se dice espacio topol´gico (e.t.) ıa o Las aplicaciones relevantes entre dos e.t. son las aplicaciones continuas y elconcepto de equivalencia en topolog´ se llama homeomorfismo. ıa Uno de los objetivos de cualquier ´rea matem´tica es clasificar y contar. En a a particular, para clasificar es necesario saber discernir cu´ndo dos objetos son a o ´ no equivalentes (en nuestro caso, cu´ndo dos e.t. son ´ no homeomorfos). a o En general, ´ste es un problema muy dif´ y est´ muy lejos de ser resuelto. e ıcil a La (corta)duraci´n del curso hace necesario optar entre los diferentes caminos o a seguir tras un primer cuatrimestre de generalidades. La opci´n elegida aqu´ o ı es un curso b´sico sobre las diferentes propiedades de un espacio topol´gico, a o tanto en su versi´n local como global, con aplicaciones a espacios usuales o (eucl´ ıdeos, proyectivos, grupos lineales,...) y estudiar si estas propiedades seconservan ´ no bajo operaciones usuales (productos, cocientes,...). Definiremos o

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12 December 2006

pues una serie de propiedades (separaci´n, compacidad, conexi´n,...) que o o ser´n invariantes topol´gicos de los espacios (es decir, si un e.t. tiene una a o de estas propiedades, tambi´n la tienen todos los que son homeomorfos a ´l). e e Es m´s ”f´cil” daruna respuesta negativa al problema del homeomorfismo que a a una respuesta positiva: por ejemplo Rn y Rm tienen los mismos invariantes topol´gicos mencionados pero no son homeomorfos si n = m (Teorema de la o Dimensi´n). En este curso probaremos parcialmente este resultado, dejando o para cursos posteriores una respuesta general. En ellos se definir´n otro tipo de invariantes, los invariantesalgebraicos, a que consiste en asociar a todo e.t. X ciertas estructuras algebraicas (como por ejemplo el grupo fundamental π1 (X) ´ los grupos de homolog´ Hn (X), n ≥ 0) o ıa que nos dar´ m´s criterios para una respuesta negativa al problema: si los a a invariantes algebraicos son no isomorfos, los espacios no son homeomorfos. La respuesta afirmativa sigue siendo dif´ Uno de los grandes problemas de laıcil: Topolog´ es saber si una 3-variedad M 3 con los mismos invariantes topol´gicos ıa o 3 3 y algebraicos que S es homeomorfa a S (Conjetura de Poincar´, 1904). e Esta conjetura no pudo ser resuelta durante todo el siglo XX y pas´ a ser o uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute. En 2002 el matem´tico ruso Gregori Perelman anunci´ una soluci´n a o o atrav´s de dos publicaciones en internet. En el XXV Congreso Internacional e de Matem´ticas celebrado en Madrid en agosto de 2006 se reconoci´ como a o correcto el trabajo de Perelman y dicha conjetura pas´ a ser un teorema. o Volviendo al contenido de este curso, lo primero que cabe destacar es que en un e.t. (X, τ ) es m´s relevante la topolog´ τ que el conjunto X: entre la a ıa topolog´ indiscretaτI = {∅, X} y la topolog´ discreta τD = P(X) pueden ıa ıa definirse muchas topolog´ sobre un mismo conjunto X t.q. los (X, τ ) tienen ıas propiedades distintas y por tanto no son homeomorfos mientras que conjuntos distintos pueden ser topol´gicamente equivalentes. o En el curso previo se dieron una serie de topolog´ no usuales sobre espacios ıas usuales (recta de Sorgenfrey, plano de Moore,...