Topología- Conexidad

Universidad de Cartagena
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Programa de Matematicas
Espacios Conexos y Componentes Conexas
Krytzan Gordon
28 de enero de 2016

Espacios Conexos
.

Definicion 1:
Un espacio topol´
ogico (X, τ ) es conexo si X no es uni´on de dos subconjuntos no vac´ıos y
separados, es decir, que no existe separaci´
on para X. En caso contrario diremos que X es no conexo.Teorema A:

Un subespacio de la recta real R es conexo si y solo si es un intervalo. En particular, R es conexo.

Demostracion: Sea X un subespacio conexo de R. Se probara que X es un intervalo. Hacemos esto suponiendo que X no es un intervalo y mediante el uso de esta hipotesis para demostrar que X no es conexo. Decir que
X no es un intervalo, es decir que existen n´
umeros reales x, y, z tales quex < y < z para x, z ∈ X, e y ∈ X.
De lo anterior es f´
acil ver que X = [X ∩ (−∞, y)] ∪ [X ∩ (y, +∞)], es una disconexi´on de X de modo que X es
disconexo.
Completamos la prueba demostrando que si X es un intervalo, entonces es conexo necesariamente. Nuestra
estrategia aqu´ı es asumir que X es disconexo y deducir una contradicci´on de esta supuesto. Sea X = A ∪ B una
disconexi´
on de X. Ya que Ay B conjuntos no vac´ıos, podemos elegir un punto x en el conjunto A y un punto z
en B. A y B son disjuntos, por lo que x = z, y mediante la alteracion de nuestra notaci´on, de ser necesario, se
puede suponer que x < z. Ya que X es un intervalo, [x, z] ⊆ X, y cada punto en [x, z] est´a en A o en B. Ahora
definimos y por
y = sup ([x, z] ∩ A)
. Es claro que x ≤ y ≤ z, asi que y esta en X. Ya que Aes cerrado en X, la definicion de y muesta que y esta
en A. De esto podemos concluir que y < z. De nuevo por la definicion de y, y + ε esta en B para cada ε > 0 tal
que y + ε ≤ z, dado que B es cerrado en X, y esta en B. Hemos demostrado que y esta tanto en A como en B,
lo que contradice nuestra suposicion de que estos conjuntos son disjuntos.

Nuestro siguente teorema afirma que la propiedad deconexi´on es preservada por aplicaciones continuas.

Teorema B:

Cualquier imagen continua de un espacio conexo es conexa.

Demostracion: Sea f : X → Y una aplicaci´on continua de un espacio conexo X sobre un espacio topol´
ogico
arbitrario Y . Debemos demostrar que f (X) es conexo en un subespacio de Y . Supongamos que f (X) es disconexo. Como hemos visto, esto significa que existen dossubconjuntos abiertos G y H de Y cuya uni´on contiene
f (x) y cuya intersecci´
on con f (X) es disjunta y no vac´ıa. esto implica, sin embargo, que X = f −1 (G) ∪ f −1 (H)
es una disconexi´
on de X, lo que contradice la conexi´on de X.

Como consecuencia directa de los dos teoremas que se acaban de demostrar, tenemos la siguiente generalizaci´
on del Teorema del valor intermedio de Weierstrass.

1Teorema C:

El rango de una funci´
on real continua definida en un espacio conexo es un intervalo.

Demostracion: Definimos una funci´
on F : x → R tal que si x es conexo en R, por el Teorema B f (x) tambien
es conexo en R. Ahora por el Teorema A tenemos que los u
´nicos subespacios conexos en R son los intervalos,
por lo tanto f (x) es un intervalo.
Es una observaci´
on trivial que cualesquiera dosespacios discretos con el mismo n´
umero de puntos son esencialmente id´enticas; para cualquier asignaci´on uno a uno de la una sobre la otra (hay al menos uno) es un
homeomorfismo, y podemos pensar en ellos como que s´olo difieren en los s´ımbolos que se utilizan para designar
sus puntos. Es en el sentido de que s´
olo hay un espacio discreto con cualquier n´
umero dado de puntos. El espacio
dedos puntos discretos, lo que obviamente es disconexo, es una herramienta u
´til en la teor´ıa de la conexidad.
Denotamos sus puntos por los s´ımbolos 0 y 1, y pensamos en ellos como n´
umeros reales.

Teorema D: Un espacio topol´
ogico X es disconexo si y solo si existe una aplicaci´on continua de X en el
espacio de dos puntos discretos {0, 1}
Demostracion: Si X es disconexo y X = A ∪ B es una...