Topología Diferencial

Topolog´ Diferencial ıa
Asignatura Optativa de Segundo Ciclo Licenciatura de Matem´ticas a Prof. Fernando Etayo Gordejuela

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´ Indice
1. Una motivaci´n para la Topolog´ Diferencial o ıa 1.1. Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. ¿Por qu´ generalizar? . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3. El precursor: Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. El inventor: Riemann . .. . . . . . . . . . . . . 1.5. La naturaleza de las variedades . . . . . . . . . 1.6. ¿Qu´ resultados vamos a obtener? . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 2 2 3 3 5 5 6 7 10 10 10 11 13 14 14 14 16 17 17 18 19 20 21 24 26 26 29 32 35 36 39 39 42 43 45 47 49 51 53

2. Variedades diferenciables 2.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Variedades con borde diferenciable . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Funciones y aplicaciones diferenciables 3.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.2. Estructuras ex´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.3. La categor´ de las variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 4.Hipersuperfices de Rn 5. Topolog´ de las variedades diferenciables ıa 5.1. Topolog´ y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıas 5.2. Topolog´ de una variedad diferenciable . . . . . . . . . . . ıa 5.3. Estructura diferenciable en un espacio topol´gico . . . . . . o 5.4. Propiedades topol´gicas de las variedades diferenciables . . o 5.5. Axiomas de numerabilidad . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5.6. Axiomas de separaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.7. Axiomas de conexi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.8. Axiomas de recubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Particiones de la unidad y metrazibilidad . . . . . . . . . . 5.10. Relaciones entre la geometr´ y la topolog´ de una variedad ıa ıa 6. Campos vectoriales, inmersiones6.1. Campos vectoriales . . . . . . . 6.2. Ecuaciones diferenciales . . . . 6.3. Formas diferenciales . . . . . . 6.4. Inmersiones y subvariedades . . y subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7. El Teorema de inmersi´nde Whitney o 8. Valores cr´ ıticos y regulares 8.1. Puntos y valores cr´ ıticos y regulares . . . . . . . . . . 8.2. El Teorema de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. El caso dim (M ) = dim (N ) . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. El Teorema de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Funciones de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Hacia la clasificaci´n de lassuperficies compactas . . . o ´ 8.7. El Teorema Fundamental del Algebra. . . . . . . . . . 8.8. Singularidades de curvas planas y gr´ficas de funciones a

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