Topología

UNIVERSIDAD VERACRUZANA
12 de Marzo a 16 de Marzo
TOPOLOG´ I
IA
Corolario

no es numerable

Demostraci´n:
o
Supongamos que R es numerable,
por lo que existir´ una sucesi´n {x1 , x2 , x3 , ..., xn , ...} cuyos t´rminos son
a
o
e
todos los puntos de R.
Sea I1 = [a, b] un intervalo cerrado que no contenga a x1 . Como extremos
de I1 se pueden tomar dos puntos a, b ∈ R que verifiquenx1 < a < b
estrictamente.
Existe un intervalo cerrado I2 , tal que I2 ⊂ I1 y x2 = I2 . Se contin´a
u
el proceso y supuesto que se han construido los intervalos cerrados I1 ⊃
I2 ⊃ ... ⊃ In con xi = Ii (i = 1, 2, ..., n), luego, existe un intervalo cerrado
In+1 ⊂ In con xn+1 = In+1 .
Este m´todo recurrente determina una sucesi´n {In } de intervalos cerrae
o
dos, con xn = In , para todo n ∈ℵ. El principio de encaje asegura la existencia
de un punto x ∈ , por lo menos, que est´ contenido en todos los intervalos
a
In , y por lo tanto x = xn para todo n ∈ ℵ. Lo que contradice la hip´tesis de
o
que en xn est´n todos los puntos de .
a
Recordatorio:
* Teorema (Teorema de Cantor)
Sea X un espacio m´trico completo y {Fn }n∈ℵ una sucesi´n decreciente de
e
o
conjuntos cerrados (novac´
ıos) tales que si Diam Fn −→ 0, entonces F =
n∈ℵ Fn = {x0 }
* Teorema (Teorema de Bolzano-Wiesstras)
Toda sucesi´n acotada en n tiene un punto de acumulaci´n
o
o

1

Lema Sea X un espacio m´trico y {xn }n∈ℵ una sucesi´n de Cauchy. Si
e
o
xϕ(n) ⊂ {xn } tal que xϕ(n) −→ x entonces xn −→ x
Lema

n

es completo.

Definici´n 1.21 Sean (X, d) un espacio m´trico y A ⊂ X
o
e
(A,d/A ) es un subespacio m´trico de (X, d) donde:
e
d/A : A × A −→
(x, y) −→ d(x, y)
Teorema Si (X, d) es un espacio m´trico completo y F ⊂ X es cerrado,
e
entonces (F, d/F ) es completo
Demostraci´n:
o
Sea {xn }n∈ℵ una sucesi´n de Cauchy en F , queremos probar que ∃l ∈ F
o
−
tal que xn − → l. Como {xn }n∈ℵ ⊂ F ⊂ X, entonces {xn }n∈ℵ es sucesi´n de
o
n→∞
Cauchy en X.
Y como X escompleto, ∃l ∈ X tal que l es punto de acumulaci´n de
o
{xn }n∈ℵ y como F es cerrado, se sigue que F a ⊂ F
Dado que l ∈ F a ⊂ F ⇒ l ∈ F ⇒ (F, d/F ) es completo.
Definici´n 1.22 Dados X un espacio m´trico y {xn }n∈ℵ una sucesi´n en X.
o
e
o
1
Decimos que {xn } est´ controlada si ∀n, p ∈ ℵ, se tiene que d(xn , xn+p ) < n+1
a
a) ¿Toda sucesi´n de Cauchy est´ controlada?
o
a
Nonecesariamente.
b) ¿Toda sucesi´n controlada es de Cauchy?
o
1
Si, sea > 0 cualquiera, d(xn , xm ) < n+1 < con m = n + p
Observaci´n:
o
Una sucesi´n de Cauchy {xn } no necesariamente es controlada, pero s´ tieo
ı
ne una subsucesi´n xϕ(n) controlada.
o
Demostraci´n:
o
Sea {xn } una sucesi´n de Cauchy, es decir dado > 0 ∃N ∈ ℵ, tal que
o
d(xn , xm ) < m, n > N
Sea = 1, entonces ∃N1 ∈ ℵ tal qued(xn , xm ) < 1 para m > n > N1
tomemos ϕ(1) = N1 , tenemos que d(xϕ(1) , xϕ(1)+p ) < 1
1
Sea = 2 entonces ∃N 1 ∈ ℵ tal que d(xn , xm ) < 1 para m > n > N 1
2
2

2

2

tomemos ϕ(2) = N 1
2

xϕ(n)

.
.
.
⊂ {xn }, con ϕ creciente

Por lo tanto xϕ(n) est´ controlada ya que d(xϕ(n) , xϕ(n)+p ) <
a

1
n+1

Definici´n 1.23 Sean X un espacio m´trico y
o
e
X´= { {xn } ⊂ X : {xn} es sucesi´n de Cauchy }
o
X´= { U : ℵ −→ X : U es sucesi´n de Cauchy }
o
Observaci´n: Para u, v ∈ X´
o
Sea kn : n −→ d(u(n), v(n)), entonces {kn }n∈ℵ ⊂

es una sucesi´n.
o

Afirmaci´n:
o
1. {kn }n∈ℵ es de Cauchy
Demostraci´n:
o
Queremos probar que dado > 0 ∃N ∈ ℵ tal que d(kn , km ) <
m>n>N
|kn − km | = |d(u(n), v(n)) − d(u(m), v(m))| =
= |d(un , vn ) − d(um , un ) + d(um , un) − d(um , vm )| =
≤ |d(un , vn ) − d(um , un )| + |d(um , un ) − d(um , vm )| ≤
≤ d(un , un+p ) + d(un , vn+p ) < 2 + 2 =
Por lo tanto {kn }n∈ℵ es de Cauchy
2. Sea d : X´× X´ −→
´
m´trica sobre X´
e

para

(u, v) −→ limn→∞ d(u(n), v(n)) ¿Es d una
´

Demostraci´n:
o
Veamos si cumple las 3 propiedades de la definici´n de m´trica:
o
e
i)d(u, v) = 0 pero no necesariamente u = v...