Topologia En R

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TOPOLOGIA EN LA RECTA REAL
INTERVALOS

INTERVALOS INFINITOS

a ;    x  R /   ; a  x  R /

xa xa

a ;    x  R /   ; a  x  R /

xa xa

COTAS YCONJUNTOS ACOTADOS Sean A  R y a  R .  

a es una COTA SUPERIOR de A si x  A : a  x . a es una COTA INFERIOR de A si x  A : a  x .

Se dice que:   

A está ACOTADO SUPERIORMENTE si a R / a es una cota superior de A . A está ACOTADO INFERIORMENTE si a  R / a es una cota inferior de A . A está ACOTADO si está acotado superior e inferiormente.

Sea A  R .   CONJUNTO MAYORANTEde A es el conjunto de todas las cotas superiores de A . CONJUNTO MINORANTE de A es el conjunto de todas las cotas inferiores de A .

Sea A  R un conjunto acotado superiormente.  Se llama EXTREMOSUPERIOR o SUPREMO de A a la menor de sus cotas superiores y se denota sup A .

Sea A  R un conjunto acotado inferiormente.  Se llama EXTREMO INFERIOR o INFIMO de A a la mayor de sus cotasinferiores y se denota inf  A .

Máximo y Mínimo   Si el supremo pertenece al conjunto A se dice que es el MAXIMO. Si el ínfimo pertenece al conjunto A se dice que es el MINIMO.

Axioma delsupremo “Si A  R es un conjunto acotado superiormente entonces posee supremo.” Axioma del ínfimo “Si A  R es un conjunto acotado inferiormente entonces posee ínfimo.”
Asignatura: Análisis Matemático I -Prof. L. Ignacio Dutra da Silveira 2011

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ENTORNOS  Se llama ENTORNO de un punto a  R a cualquier conjunto de la forma

E (a;  )  a   ; a     x  R / x  a    con   0.
 Sellama ENTORNO REDUCIDO de un punto a  R a cualquier conjunto de la forma

E * (a;  )  a   ; a   a ; a     x  R / 0  x  a    con   0.
El punto a es el centro del entorno y elvalor  es el radio. Notemos que en el caso del entorno reducido, se excluye al centro del entorno, es decir, al punto a , pues al exigir 0  x  a equivale a exigir x  a ya que x  a  0  x  a ....