Topologia en r

Apuntes de Análisis Matemático (U.N.E.D.)

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Análisis Matemático (U.N.E.D.)
Capítulo 1. Topología de R. • Axiomáticade R
Se presenta en cuatro grupos: I. Axioma de adición. Definida una suma (+) en R: si x, y∈R, entonces x+y∈R. Propiedades: a)x+y=y+x, para cualquier x, y∈R. (p. conmutativa) b) (x+y)+z=x(+y+z), para cualquier x, y, z∈R (p. asociativa) c) Existe un elemento de R (0),tal que x+0=0+x=x, para todo x∈R (elemento neutro) d) Para todo x∈R existe –x, tal que x+(-x)=0. (elemento opuesto de x) (R, +) es ungrupo conmutativo. II. Axiomas de multiplicación. Definido un producto ( ⋅ ) en R: si x, y∈R, entonces x⋅ y o bien xy∈R. Propiedades: a)xy=yx, para cualquier x, y∈R. (p. conmutativa) b) (xy)z=x(yz), para cualquier x, y, z∈R (p. asociativa) c) Existe un elemento de R (1),tal que x1=1x=x, para todo x∈R (elemento neutro) 1 1 d) Para todo x∈R existe , tal que x ⋅ = 1 (elemento inverso de x) x x e) Para todox, y, z∈R: x(y+z)=xy+xz (p. distributiva) (R, +, ⋅ ) tiene estructura de cuerpo conmutativo. III. Axiomas de orden. Dados dos elementosx, y∈R se satisface la relación x≤y o y≤x con las siguientes propiedades: a) x≤x, para todo x∈R b) Si x≤y e y≤x, entonces x=y. c) Si x≤ye y≤z, entonces x≤z. d) Si x≤y, entonces x+z≤y+z, para todo x, y, z∈R. e) Si 0≤x y 0≤y, entonces 0≤xy. x≤y, en el caso de x≠y : x