topologia

TOPOLOGÍA GENERAL

Managua, febrero 2002

Profesora Marta Macho Stadler

c Marta Macho Stadler
Departamento de Matem´ ticas
a
Facultad de Ciencia y Tecnolog´a
ı
Universidad del Pa´s Vasco–Euskal Herriko Unibertsitatea
ı
Barrio Sarriena s/n, 48940 Leioa
e-mail: mtpmastm@lg.ehu.es
http://www.ehu.es/ mtwmastm
Tlf: 946015352
Fax: 946012516

Indice

Introducci´ n
o

ix

0.1ix

0.2

Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

0.3
1

¿Qu´ es la topolog´a? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
ı

Organizaci´ n de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
o

Preliminares

1

1.1

Un poco de algebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
´

1

1.2

Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Cardinalidad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

Propiedades de los n´ meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
u

8

1.6

Algunas nociones sobre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6.1

Grupo (no abeliano) libre con dos generadores . . . . . . . . . . . . .

8

1.6.2

Grupo libre sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6.3

Producto libre de dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6.4

Productoamalgamado de dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7
2

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Espacios Topol´ gicos
o

13

2.1

Definici´ n de Topolog´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
o
ı

2.2

Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
i

2.32.4

Espacios de Fr´ chet y de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
e

2.5
3

Base y subbase de una Topolog´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ı

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Entornos

23

3.1
3.2

Bases de entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.3

Topolog´as y sistemas de entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ı

3.4
4

Entornos y sistemas de entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Conjuntos en espacios topol´ gicos
o

29

4.1
4.2

Clausura de un conjunto . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3

Puntos de acumulaci´ n y puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
o

4.4

Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5
5

Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 34

Numerabilidad

39

5.1
5.2

Espacios de Lindel¨ f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
o

5.3

Conjuntos densos y espacios separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4
6

Espacios primero y segundo numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 43

Continuidad

47

6.1

Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2

Algunas propiedades de funciones continuas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.1

Continuidad y espacios Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.2

Continuidad secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....