Topologia

C´
alculo Diferencial
Daniel Azagra Rueda

´
´
DEPARTAMENTO DE ANALISIS
MATEMATICO
´
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Revisado: Enero de 2010

ISBN-13:

978-84-611-6378-6

2

´Indice general
I

Conceptos m´
etricos y topol´
ogicos en Rn

1. M´
etricas, normas y productos escalares

5
7

2. Conceptos topol´
ogicos

19

3. Sucesiones, completitud y compacidad27

4. L´ımites, continuidad y continuidad uniforme

45

5. Conexi´
on y convexidad

79

6. Algunos temas m´
as avanzados de topolog´ıa

97

II

C´
alculo diferencial en Rn

113

7. Derivadas direccionales y gradientes

115

8. Funciones diferenciables

133

9. Teorema del valor medio

151

10.Derivadas de orden superior

159

11.Teorema de Taylor. Aproximaci´
on.

181

12.Extremos locales

19513.Teoremas de la funci´
on inversa e impl´ıcita

213

14.Variedades diferenciables en Rn

239

3

4

´INDICE GENERAL

Ap´
endice

267

Bibliograf´ıa

269

Parte I

Conceptos m´
etricos y
topol´
ogicos en Rn

5

Cap´ıtulo 1

M´
etricas, normas y
productos escalares
El alumno de esta asignatura ya ha realizado un curso anual de ´algebra
lineal y est´a familiarizado con los espacios vectoriales dedimensi´on finita,
aplicaciones lineales, bases, matrices y determinantes. Ha adquirido por tanto una comprensi´on suficiente de la estructura lineal y af´ın de los espacios
Rn , aunque quiz´as no est´e tan familiarizado con la estructura m´etrica de
los mismos. En este primer cap´ıtulo resumimos las propiedades m´as importantes de los espacios Rn que tienen que ver con ´angulos, ortogonalidad devectores, y distancias entre puntos (u otros subconjuntos) del espacio.
Comenzamos recordando la definici´on de producto escalar, ortogonalidad
de vectores y subespacios, y demostrando aquellas de sus propiedades que
ser´an m´as u
´tiles de cara al estudio de esta asignatura, como la desigualdad
de Cauchy-Schwarz. A partir del producto escalar introducimos la norma
y la distancia euclideas. Estoda pie a abstraer algunas de las propiedades
esenciales de esta m´etrica euclidea y llegar as´ı al concepto de norma en
un espacio vectorial. Continuamos con un breve estudio de las propiedades
generales de las normas y algunos ejemplos.
Asociada a cada norma tenemos una distancia en el espacio Rn que lo
dota de una estructura de espacio m´etrico, pero esta distancia no es una
m´etrica arbitrariaen Rn , sino que tiene la propiedad de ser invariante por
traslaciones: ´esta es una de las ventajas principales de usar normas en lugar
de distancias. Concluimos estudiando brevemente varios ejemplos concretos
de espacios m´etricos, as´ı como algunos conceptos generales que tienen que
ver con distancias.

7

´
8 CAP´ITULO 1. METRICAS,
NORMAS Y PRODUCTOS ESCALARES
Definici´
on 1.1 En el espaciovectorial Rn se define el producto escalar
euclideo de dos vectores x = (x1 , ..., xn ) e y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn como
n

x, y =

xj yj .
j=1

Geom´etricamente, este n´
umero corresponde al coseno del ´angulo α que forman los vectores x y y multiplicado por las longitudes de dichos vectores.
En particular, los vectores x e y son perpendiculares si y s´olo si x, y = 0.
Las propiedades m´asimportantes del producto escalar quedan resumidas en
la proposici´on siguiente.
Proposici´
on 1.2 Para cada x, y, z ∈ Rn , λ ∈ R, tenemos que
1. x, x ≥ 0, y adem´
as x, x = 0 si y s´
olo si x = 0;
2. x, y = y, x ;
3. λx, y = λ x, y ;
4. x + y, z = x, z + y, z .
Esto, en el lenguaje del ´algebra lineal, simplemente significa que ·, · es
una forma bilineal sim´etrica definida positiva en Rn . Por supuesto´esta no
es la u
´nica forma bilineal con tales propiedades en Rn . Por ejemplo, para
cualesquiera n´
umeros positivos λ1 , ..., λn , la aplicaci´on (x, y) → nj=1 λj xj yj
tiene las mismas propiedades. De hecho, como el alumno de esta asignatura sabe diagonalizar matrices y encontrar bases ortonormales de formas
cuadr´aticas en Rn , no debe tener dificultades en admitir que esencialmente,
todas...