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Capítulo 1

Trigonometría
La palabra Trigonometría signi…ca "Medida de los triángulos", por lo que durante mucho tiempo se entendió como el estudio de problemas relativos a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo. Su origen data aproximadamente hace 2000 años, en Grecia. Sin embargo, en el último siglo se ha aplicado en el estudio de problemas de ondas, oscilaciones y también enfenómenos periódicos.

1.1.

Sistemas de medición angular

El concepto de ángulo desempeña un papel importante en el estudio de las funciones trigonométricas, su de…nición se supondrá conocida por el lector. A cada ángulo se asocia un número real llamado medida angular. La medida angular es positiva o negativa si la rotación del lado terminal del ángulo es positiva o negativa. Se entiende porrotación positiva aquella efectuada en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj y negativa aquella efectuada en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

Los dos sistemas más usados para determinar la medida angular son : 4

i) Sistema sexagesimal (medida en grados). ii) Sistema circular (medida en radianes). De…nición 1.1 El ángulo del centro que subtiende un arco cuyalongitud es igual a circunferencia de un círculo tiene una medida que se llama un grado. Se denota 1 .
o

1 360

de la

Un grado constituye la unidad de medida en el sistema sexagesimal. Son divisiones comunes de esta 1 1 de un grado y el segundo que corresponde a de un unidad el minuto que es igual a 60 60 minuto. Se denotan respectivamente : 10 y 1". Observación 1.1 De lo anterior 45o 16’48" se lee 45 grados, 16 minutos, 48 segundos y es equivalente a 45o 16,8’ (reduciendo los segundos a décimas de minuto) o 45,28o (reduciendo los minutos a décimas de grado). De…nición 1.2 El ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de un círculo tiene una medida que se llama un radián. Se denota: 1 [rad]

Un radián constituye la unidad de medida en el sistemacircular. La división común de esta 1 unidad es el miliradián que es igual a [rad]. 1000

1.1.1.

Relación entre grados y radianes
[rad], mientras que su medida en grados es 360o . Por lo tanto, 2 = 360o 180 1 [rad] = [rad] 1o = 180 [rad] :

Como un ángulo completo subtiende un arco igual a la longitud de la circunferencia (2 r) entonces mide 2

Ejemplo 1.1 Convertir las siguientes medidas enradianes:

5

1. 45o 2. 210o 3. 112o 400 Solución Usando la relación entre grados y radianes, se tiene: h i [rad] 1. 45o = 45 [rad] = 180 4 i h 7 [rad] = 2. 210o = 210 [rad] 180 6 i 169 338 338 h 7 [rad] = 3. 112o 400 = = [rad] : [rad] 3 3 180 270 6 Ejemplo 1.2 Convertir las siguientes medidas en grados:

1. 2. 3.

2

[rad]

3 [rad] 5 1 [rad] 4

Solución Usando la relación entregrados y radianes, se tiene: 1. 2. 3. [rad] = 180o 2 = 90o = 108o 14; 32394488o 14o 190 26"

2

3 3 [rad] = 5 5 1 1 [rad] = 4 4

180o 180o

La siguiente tabla muestra la equivalencia entre la medida en grados y la medida en radianes para los ángulos de uso más frecuente.

Grados Radianes

360 2

270 3 2

180

135 3 4

90 2

60 3

45 4

30 6

0 0

6

Observación 1.2Tradicionalmente se ha convenido en entender que cuando no se especi…can las unidades para la medida de un ángulo, éstas corresponden a radianes. Además, es común referirse a un ángulo mencionando únicamente su medida. Por ejemplo, el ángulo de la siguiente …gura se denomina ángulo AOB cuya medida es de 90 .

7

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Expresar en grados cada una de las siguientes medidas: 4 511 b) 4 15 c) 8 10 d) 7 a) 2. Expresar en radianes cada una de las siguientes medidas: a) 27o 100 b) 540o c) d) 840o 300o

3. Localice sobre una circunferencia unitaria los puntos determinados por ángulos del centro de medidas: 13 6 7 b) 4 9 c) 4 5 d) 3 a)

8

1.2.
1.2.1.

Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria

1. La distancia entre dos...