Torsion

sionME3202/ME46A Resistencia de Materiales

Auxiliar 4: Esfuerzo por torsi´n o

Profesor: Roger Bustamante Auxiliar: Eladio Hurtado M.

Oto˜o 2009 n

Cap´ ıtulo 1

Auxiliar 4: Esfuerzos por torsi´n o

1.1.

Definiciones
Torsi´n o θGJ L

T = J

(1.1)

J= Esfuerzo por torsi´n o

πD4 32

(1.2)

τ=

Tr J

(1.3)

1.2.
1.2.1.

Problemas
Problema 1

Hallar losmomentos en los empotramientos MA y MD .

1

´ CAP´ ITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION

2

Figura 1.1: Problema 1

El problema se puede resolver por superposici´n, es decir, se pueden resolver dos problemas y despu´s o e sumar las soluciones. En este caso en particular se calcular´ el ´ngulo de deformaci´n producido por los a a o dos momentos puntuales (figura 1.2) y el ´ngulo dedeformaci´n producido por una de las reacciones a o en los empotramientos (figura 1.3) Estos dos ´ngulos, θ1 y θ2 respectivamente, son calculados en el a extremo D de la viga.

Figura 1.2: Parte 1 superposici´n o

Figura 1.3: Parte 2 superposici´n o

Luego sabemos que se tiene que cumplir la siguiente igualdad dado que la viga esta empotrada en el punto D.

θ 1 + θ2 = 0 C´lculo de θ1 a Tramo 0< x < 30

(1.4)

´ CAP´ ITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION

3

Figura 1.4: T interno en tramo 1

T = −3 · 104 − 2 · 104 = −5 · 104 Tramo 30 < x < 80

(1.5)

Figura 1.5: T interno en tramo 2

T = −2 · 104 Tramo 80 < x < 120 T =0 −5 · 104 · 30 −2 · 104 · 50 + GJ GJ

(1.6)

(1.7)

θ1 = Calculo de θ2

(1.8)

Figura 1.6: T en parte 2 superposici´n o

T = MD(1.9)

´ CAP´ ITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION

4

θ2 = Usando la ecuaci´n (1.4) o

MD · 120 GJ

(1.10)

−5 · 104 · 30 −2 · 104 · 50 MD · 120 + + =0 GJ GJ GJ

(1.11)

MD = 20833, 3[N cm] Haciendo sumatoria de momentos en el eje de la barra

(1.12)

MA + MD = 5 · 104

(1.13)

MA = 29166, 6[N cm]

(1.14)

1.2.2.

Problema 2

En la figura 1.7 el eje 1 est´empotrado a lapared del lado izquierdo y el eje 2 est´ apoyado en dos a a cijientes (puede girar sin roce) y se le aplica un torque T en su extremo derecho. Los engranajes puedes considerarse como discos r´ ıgidos. Determine el ´ngulo de rotaci´n total en el punto A. Determien el a o valor de los m´ximos esfuerzos de corte en los ejes 1 y 2. a Datos: Eje 1 G1 = 27, 6[GP a] L1 = 1[m] d1 = 5[cm] D1 =15[cm] Eje 2 G2 = 83[GP a] L2 = 2[m] d2 = 8[cm] D2 = 20[cm] T = 2000[N m]

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5

Figura 1.7: Problema 2

Sean: TM : Torque de racci´n de pared sobre el eje 1 o F : Fuerza de interacci´n engranaje o Equilibrio torque eje 2

Figura 1.8: DCL eje 2

T =

D2 F 2 2T D2

(1.15)

F = Equilibrio de torque eje 1

(1.16)

Figura 1.9: DCL eje1

´ CAP´ ITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION

6

TM =

D1 F 2 D1 T D2

(1.17)

TM = Sea

(1.18)

´ ´ θC : Angulo de torsi´n en el eje 1 en C debido a TM θB : Angulo de torsi´n en el eje 2 en C debido o o ´ a la interacci´n cn el eje 1 θBA : Angulo de torsi´n en el eje 2 en C debido a T o o θC = TM L1 G1 J1 (1.19)

J1 =

πd4 1 = 6, 1359 · 10−7 [m4 ] 32

(1.20)

θC =8, 8573 · 10−2 [rad] La relaci´n que se cumple es la igualdad de arcos como se observa en la figura 1.10 o

(1.21)

Figura 1.10: Igualdad en los arcos producidos por los angulos de torsi´n en los engranajes ´ o

θC

D1 D2 = θB 2 2

(1.22)

θB = θC

D1 = 6, 643 · 10−2 [rad] D2 T L2 G2 J 2

(1.23)

θBA =

(1.24)

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7

J2 =πd4 2 = 4, 0122 · 10−6 [m4 ] 32

(1.25)

θBA = 1, 1984 · 10−2 [rad] Sea ´ θA : Angulo de torsi´n total en A o θA = θC + θBA = 7, 8414 · 10−2 [rad] Esfuerzo cortante m´ximo en los ejes a Eje 1 TM d1 = 61, 1157[M P a] 2J1 T d2 = 19, 8946[M P a] 2J2

(1.26)

(1.27)

τmax1 =

(1.28)

τmax2 =

(1.29)

1.2.3.

Problema 3

El poste s´lido de hierro colado de 2 pulgadas de...