Toustone

Álgebra Lineal Ma1010
Líneas y Planos en el Espacio
Departamento de Matemáticas

ITESM

Líneas y Planos en el Espacio

Álgebra Lineal - p. 1/34

Introducción
Los conjuntos solución a un sistema de ecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitas tienen una versión geométrica interesante y conocida.
´ Introduccion ´ Ecuacion de la Recta ´ Ecuacion de un Plano ´ ´ EcuacionEstandar de un Plano

Líneas y Planos en el Espacio

Álgebra Lineal - p. 2/34

Introducción
Los conjuntos solución a un sistema de ecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitas tienen una versión geométrica interesante y conocida. En el caso de sistemas con dos variables, los conjuntos solución infinitos son líneas rectas.
´ Introduccion ´ Ecuacion de la Recta ´ Ecuacion de un Plano ´ ´Ecuacion Estandar de un Plano

Líneas y Planos en el Espacio

Álgebra Lineal - p. 2/34

Introducción
Los conjuntos solución a un sistema de ecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitas tienen una versión geométrica interesante y conocida. En el caso de sistemas con dos variables, los conjuntos solución infinitos son líneas rectas. En el caso de sistemas con tres variables, losconjuntos solución infinitos son rectas o planos en el espacio.
´ Introduccion ´ Ecuacion de la Recta ´ Ecuacion de un Plano ´ ´ Ecuacion Estandar de un Plano

Líneas y Planos en el Espacio

Álgebra Lineal - p. 2/34

Introducción
Los conjuntos solución a un sistema de ecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitas tienen una versión geométrica interesante y conocida. En el caso desistemas con dos variables, los conjuntos solución infinitos son líneas rectas. En el caso de sistemas con tres variables, los conjuntos solución infinitos son rectas o planos en el espacio. En esta sección veremos las rectas y los planos en el espacio por su relación que tienen con los sistemas de ecuaciones lineales. Un objetivo secundario es agregarlos al conocimiento propio de las áreas de Ingeniería.´ Introduccion ´ Ecuacion de la Recta ´ Ecuacion de un Plano ´ ´ Ecuacion Estandar de un Plano

Líneas y Planos en el Espacio

Álgebra Lineal - p. 2/34

Ecuación paramétrica de la recta
La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P (xo , yo , zo ) y que es paralela al vector de dirección n =< a, b, c > es:
x
´ Introduccion ´ Ecuacion de la Recta ´ Ecuacion de un Plano ´ ´Ecuacion Estandar de un Plano

= p + tn

donde t es el parámetro de la ecuación.

Líneas y Planos en el Espacio

Álgebra Lineal - p. 3/34

Ecuación paramétrica de la recta
La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P (xo , yo , zo ) y que es paralela al vector de dirección n =< a, b, c > es:
x
´ Introduccion ´ Ecuacion de la Recta ´ Ecuacion de un Plano ´ ´ EcuacionEstandar de un Plano

= p + tn

donde t es el parámetro de la ecuación. Esta ecuación también puede escribirse en función de sus componentes x = xo + t a y = yo + t b z = zo + t c

Líneas y Planos en el Espacio

Álgebra Lineal - p. 3/34

5

´ Introduccion ´ Ecuacion de la Recta ´ Ecuacion de un Plano ´ ´ Ecuacion Estandar de un Plano

P+t*N

P L 00 0 5 N

t*N

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Figura 1:Línea en el Espacio Líneas y Planos en el Espacio Álgebra Lineal - p. 4/34

Ejemplo

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, 2, −3) y que tiene dirección n =< 5, 7, −4 >.

´ Introduccion ´ Ecuacion de la Recta ´ Ecuacion de un Plano ´ ´ Ecuacion Estandar de un Plano

Líneas y Planos en el Espacio

Álgebra Lineal - p. 5/34

Ejemplo

Determine la ecuación de larecta que pasa por el punto P (1, 2, −3) y que tiene dirección n =< 5, 7, −4 >.
´ Solucion x

´ Introduccion ´ Ecuacion de la Recta ´ Ecuacion de un Plano ´ ´ Ecuacion Estandar de un Plano

=< x, y, z >=< 1, 2, −3 > +t < 5, 7, −4 >

Líneas y Planos en el Espacio

Álgebra Lineal - p. 5/34

Ejemplo

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, 2, −3) y que tiene...