TP MATE 2

Matemática II - Curso on line 2010.
Unidad 1 – Aplicaciones de las Integrales
Resolución
3

1)

Sabiendo que

∫ x . dx =
2

28
3

calcular el valor de “a”.

a

Resolución
3

x3
27 a 3 28
27 28 a 3
1 a3
x . dx =  =
−
=
⇒
−
=
⇒− =
⇒ −1 = a 3 ⇒ −1 = a
∫
3 a 3
3
3
3
3
3
3 3
a
3

2

2)

Una función cuadrática responde a la fórmula, P( x ) = a x

2+ b x + c y cumple con las condiciones dadas a

continuación:
1

P(0) = 1 ; P(1) = 9

y

∫ P( x) . dx = 6 .
0

Calcular los valores de a,b y c.

Resolución
Como
Como

P ( 0) = 1
P(1) = 9

⇒ a.0 + b.0 + c = 1 ⇒ c = 1
⇒ a+b+c =9 ⇒ a+b =8

1

Como

∫ P( x) . dx = 6

⇒ a x3 + b. x2 + cx
3

2

1
0

=6

0

Entonces

1
3

a+ 1b+c =6 ⇒ 1a+ 1b =5
2
3
2Así resultan:

 a+b =8

2
2a + 3b = 30 ⇒ 2a + 3(8 − a ) = 30 ⇒ a = −6 ∧ b = 14 ⇒ P( x) = −6 x + 14 x + 1

3)

La velocidad (en m/seg) de un cuerpo en un movimiento rectilíneo se expresamediante la fórmula v = 2 + t . Hallar la
distancia recorrida por el mismo, expresada en metros, entre los instantes t 1 = 2 seg y t 2 = 5 seg

Resolución
5

5

1 2 
1 2 
1 2 
25 33

∫ (2 + t ) dt =  2t + 2 t 2 =  2.5 + 2 .5  −  2.2 + 2 .2  = 10 + 2  − 6 = 2 = 16,5m

 
 
 

2

1

4)

Representar gráficamente y calcular mediante integrales el árealimitada por las curvas de ecuaciones:

y=

1 2
x
4

;

y=

1 2
x
9

;

y =1

Como las áreas son simétricas, podemos calcular el área total como el doble del área encerrada entrex=0 y x=3.
Pero como entre x=0 y x=2 las curvas limitantes son distintas a las involucradas en el área encerrada entre x=2 y x=3,
planteamos para calcular el área total la siguiente integral:
3
3 2  x2 x2 
2  5 
 x2  
 x2  
Área = 2. ∫  − dx + ∫ 1 − dx  = 2. ∫  x 2  dx + ∫ 1 − dx 



9 
9  
9  



2
2
0  4
 0  36 
3
 5 x 3 ...