TP N4 Aplicaciones De Las Integrales 2014 Resoluci N 1

Matemática II - Curso on line 2014.

TP Nº4 – Aplicaciones de las integrales
Resolución
1)

Representar gráficamente y calcular mediante integrales el área limitada por las curvas
de ecuaciones: y =

1
4

x2

;

y=

1
9

x2

;

y =1

en el primer cuadrante.

Resolución: Para poder calcular el área, es necesario saber dónde se intersecan las
parábolas con la recta y = 1.
Igualando tenemos que

14

x2 = 1 ⇒

x2 = 4

⇒

x = ±2 . De estas dos respuestas

solamente nos resulta útil x = 2 porque el enunciado nos pide en el primer cuadrante.
En forma análoga

1
9

x2 = 1 ⇒

x2 = 9

⇒

x = ±3 que por la misma consideración resulta:

x=3

y

En la gráfica indicada a la izquierda (no

y = 41 x 2

está en escala) resulta evidente que, el

1

cálculo
Área
solicitada

1
9

y= x

2

del

área

dedos

integrales. Una de ellas debe ser en

[0 ; 2] y la otra en [2 ;3]
x
2

precisa

3

T.P: Nº4 – Aplicaciones de Integrales
Resolución – Hoja 1 de 8

2

Así tenemos que: A =

3

∫
0

2

2

1
4

1
9

Integrando resulta: A =

2)

5
108

x

3
0

2

∫

+  x − 271 x 3 



1
9

∫

3

[( x ) − ( x )]. dx + [(1) − ( x )]. dx = [
2

Operando resulta A =

2

2

5
36

]

x 2 . dx +

0

3

=
2

10
27[

∫

[1−

1
9

]

x 2 . dx

2

(

8
+ (3 − 1) − 2 − 27

)]

2
3

Un objeto es arrojado verticalmente y hacia arriba, en el vacío de manera tal que su
velocidad (en m/seg) viene dada por la expresión v( t ) = 30 − 10t . Sabiendo que, para
t 0 = 0 se encontraba a 50m de altura, calcular la distancia que recorrerá en los primeros

tres segundos.
Resolución: Conocida la expresión de la velocidadinstantánea, podemos hallar la ecuación
horaria porque la misma resulta de calcular su primitiva. En términos matemáticos sería:
x( t ) =

∫

v( t ). dt

⇒

x( t ) =

∫

(30 − 10t ). dt = 30t − 5.t 2 + C

Sabiendo que para t 0 = 0 el objeto está a 50m de altura podemos calcular el valor de "C".
El mismo resulta:

x( t ) = 30t − 5.t 2 + C

⇒

x(0) = 50 = C

⇒

x( t ) = 30 t − 5.t 2 + 50

La consignaindica calcular la distancia recorrida en los primeros tres segundos. Ello es la
diferencia entre x(3) y x(0) .
Así tenemos que: x(3) − x(0) = (90 − 45 + 50 ) − (0 − 0 + 50 )
Luego: ∆x = 45 m

3) Representar gráficamente y calcular el valor del volumen de revolución engendrado por la
y = x + 1

rotación alrededor del eje “x” de la curva 
0 ≤ x ≤ 4

Resolución: Graficando en dos dimensionesresulta un tramo de parábola:

T.P: Nº4 – Aplicaciones de Integrales
Resolución – Hoja 2 de 8

y

Al hacerlo rotar alrededor del eje de
abscisas resulta un sólido como el
indicado a continuación:

x

4

z

Para calcular el volumen aplicamos la fórmula:
4

b

V=π

∫

f 2 (x ) dx

⇒

V=π

a

∫

( 1+ x ) . dx
2

0

Resolviendo el cuadrado de binomio resulta:
4

4

4


x 2 x2 

V = π 1 + 2. x + x . dx= π 1 + 2.x + x . dx = π. x + 2. 3 +

2
2

0
0
0
Expresándolo como raíz, aplicando la regla de Barrow y operando resulta:

∫(


V = π. x + 34



V=

68
3

)

∫(

1
2

)

4

x2 
3
 = π. 4 + 32 + 8 − 0
x +
3
2 
0

((

) )

π (unidades cúbicas )

T.P: Nº4 – Aplicaciones de Integrales
Resolución – Hoja 3 de 8

3

4) Tres masas cuyos valores son: m1 = 5 gr ; m 2 = 8 gr ; m 3 = 10 gr seencuentran alineadas y
ubicadas en los puntos cuyas abscisas son: x1 = 4 cm ; x 2 = 1 cm ; x 3 = −2 cm . Se pide:
a) Hallar los momentos de primero y segundo orden respecto del origen.
b) ¿En qué posición se encuentra el centro de gravedad?
c) ¿Qué masa m 4 debe agregarse en el punto de abscisa x = −3 cm para que el centro de
gravedad se encuentre en el origen?
a) Resolución: Como el momento deprimero orden o momento estático respecto del origen
para un conjunto de puntas materiales alineados es:
n

M(10)

=

∑

mi .x 1

i=1

Resulta: M(10) = 5 gr. 4 cm + 8 gr. 1 cm + 10 gr. ( −2) cm
(1)
De donde M 0 = 8 gr . cm
n

En forma análoga, el momento de inercia es:

M( 02 )

=

∑

m i .x 2i

i=1

Reemplazando tenemos que:
M( 02 ) = 5 gr. 16 cm 2 + 8 gr. 1 cm 2 + 10 gr. 4 cm 2
( 2)
2
De donde M 0...