trabajo algebra lineal

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
Asignatura: Álgebra Lineal.
Profesora: Viviana Andrea Parada Almeida.
Taller 5:
ESPACIOS VECTORIALES, DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL,
BASES Y DIMENSIONES.
 x
 
1. Demostrar analíticamente que el conjunto H=  2x  con x ∈ ℜ , es un espacio vectorial.
0
 

2. En cada caso, describir geométricamente el conjunto dado y determinar si es o noun
subespacio vectorial. Justificar
a) El conjunto de los vectores en ℜ 3 de la forma (x, x, x) con x∈R.
b) El conjunto H formado por los vectores del plano xy; ubicados en el primer, segundo y tercer
cuadrante.
c) El conjunto constituido por los vectores de la forma (0, y, z)
d) El lugar geométrico determinado por la unión de dos subespacios cualesquiera.
e) El conjunto de puntos en ℜ 3que satisface la ecuación x + z = 1.
f) H = {(x, y, z) ∈ ℜ³ : x²+y²-z = 0}
g) H = {(x, y, z) ∈ ℜ³ : x = z, 2x+y = 0}
3. Comprobar que los siguientes subconjuntos de ℜ 2 no son espacios vectoriales:
a) H= {(x, y): x 2 + y 2 ≤ 1 }
b) H= {(1, y): y∈ ℜ }
1
0
1
 
 
 
4. Determinar si los vectores v1 =  0  ; v 2 =  1  y v3 =  1  generan el espacio vectorial ℜ³.
 
1
2
1
 
 
Si la respuesta es negativa, describir geométricamente el espacio que generan y expresarlo
algebraicamente.

5. Determinar en cada caso al menos dos espacios vectoriales generados por los vectores dados:
1
0
1
0
0
 
 
 
 
 
a) v1 =  0  y v 2 =  1  ;
b) v1 =  0  ; v 2 =  1  y v3 =  0  ;
c) (1; 1; 1);
1
1
1
1
 2
 

 
 
 

d) (1; -1; 1) y (-1; 1; -1);

 1
 
e) 1;
 1
 

 2
 
 0 ;
1
 

 3
 
 1 ;
 2
 

7
 
 3 ;
5
 

1
2
2 
f)  ;  ;  
1  1   2 

1

6. ¿Verdadero o falso? Justificar.
a. El vector (6,2) pertenece al espacio generado por {(2, 3), (4, -5)}.
b. Un conjunto de tres vectores de ℜ 2siempre genera a ℜ 2 .
c. El espacio que generan tres o más vectores en ℜ³, es todo ℜ³.
d. ℜ³ siempre estará generado por un conjunto de 3 vectores.
e. Sean los vectores u, v, w de ℜ³ tales que v ≠ w, entonces gen {u, v} ≠ gen {u, w}.
f. Si un conjunto de vectores no nulos es linealmente dependiente, al menos uno de ellos es
combinación lineal de los restantes.
g. Si un conjunto de vectores nonulos es linealmente dependiente, cualquiera de ellos es
combinación lineal de los restantes.
h. El vector nulo solo es combinación lineal de un conjunto de vectores nulos.
i. El vector nulo puede escribirse como combinación lineal de vectores sin que todos los
coeficientes sean nulos.
7. Determinar un vector (x, y) tal que el vector v1 =(1, 1):
a. No sea combinación lineal de los vectores v 2= (4, 3) y v3 = (x, y).
b. Sea combinación lineal de los vectores v 2 = (4, 3) y v3 = (x, y).
c. Sea combinación lineal de los vectores v 2 = (0, 0) y v3 = (x, y).

1
8. Verificar analíticamente que el vector u =   no es combinación lineal de los vectores
1
 4
0
v =   y 0 =   . Justificar geométricamente.
 3
0
9. Determinar en cada caso si el conjunto H eslinealmente independiente.

 1   − 1 
H =   ;  
 2   − 3 
 1   2 
H =   ;  
 2   4 

 1 
 − 8 
7
 
 
 
 2 
1
 0 
H =   ;   ;  
−
1
0
8
 
 
 






 3 
 4
 2 

 − 3 
1
 4 
H =   ;   ;  
10 
 − 5 
 2 
 1 
 2 
 0 
 
  
H =  − 2  ;  − 2  ;  1 
 3 
 0 
 7 
 
 
 

 1 
 2 
 
 
H =  2  ;  3 
 3 
 5 
 
 

10. Responder verdadero o falso según corresponda. Justificar la respuesta.
a. En un espacio vectorial, cualquier conjunto constituido por un solo vector es linealmente
independiente.

2

b.

{

Sabiendo que u1 , u 2, u 3...