Trabajo algebra lineal

TRABAJO DE ALGEBRA LINEAL.

1. Utilizando el plano cartesiano represente los siguientes vectores dados en forma polar: 1.1. 1.2. |u| = 4; Ө = 225°. |t| = 3; Ө = 60°.

Rta:

1.1.

| u | 4;

225

1.2.

| t | 3;

60

2. Utilizando el plano cartesiano represente los siguientes vectores dados en forma rectangular:

2.1. 2.2.

u ( 1,2) v (2,0)

Rta: 2.1.

u

( 1,2)2.2.

v (2,0)

3. Realice las operaciones indicadas de manera grafica y analítica. Para esto emplee el plano cartesiano y una escala de medición apropiada (fijada por el estudiante) de manera, que se pueda establecer la magnitud (de las componentes rectangulares) de cada uno de los vectores involucrados.

Siendo

u

i

j,

v

2j

w

i 2j

3.1. 3.2. Rta:

u v

v w
u v3.1.

u v

i

j 2j j) ( 2 j) j 2 j) j

u v (i u v (i u v i

3.2.

v w

v w

2j i 2j

v w ( 2 j) ( i 2 j) v w v w i 2j i 2j

4. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

4.1.

u

i 2 j,

v

i

j

Cos

u.v | u || v | j)

u.v ( i 2 j )( i

u.v ( i ( i )) (2 j ( j )) u.v 1 2 u.v 3 |u| 12 22 |u| 1 4

|u| |v| |v|

5 ( 12 ) ( 12 ) 2 |v| 1 1

CosCos Cos

u.v | u || v | 3 5 2 3 10 10 10

Cos Cos Cos

3 5 2 3 10 3 10 10

Cos

0,948683298 ArcCos ( 0,948683298 )

161,565 .

4.2.

w

i 3 j,

u

2i

j

Cos

u.w | u || w | j )( i 3 j )

u.w (2 i

u.w (2 i ( i )) ( j ( 3 j )) u.w 2 3 u.w 1 |u|
|u| | w| | w|

22
5

( 12 )

|u|

4 1

( 12 ) ( 32 ) 10

| w|

1 9

Cos Cos Cos Cos

u.w | u || w | 150 50 50 2 10

Cos Cos Cos

1 5 10 1 50 5 2 50 50 50

Cos

0,141421356 ArcCos (0,141421356 )

81,87 .
5. Dada la siguiente matriz, encuentre A-1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

1 0 A 0 1 4 2 1 6

0 5 1 5

2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 10 0 1 0 0 0 0 0 1

Realizamos las siguientes operaciones:

f3 - 4f1. f4 - f1.

1 0 A 0 1 0 2 06

0 5 1 5

2 1

0 0 0

1 0 1 0 0 9 4 0 1 0 2 1 0 0 1

f3 - 2f2. f4 - 6f2.

1 0 A 0 1 0 0 0 0

0 5 9 35

2

1

0

0 0

1 0 11 4 8 1

1 0 0 2 1 0 6 0 1

-1/9f3.

1 0 A 0 1 0 0 0 0

0

2

1

0

0 0 1

0

5 1 0 1 2 1 11 4 9 9 9 35 8 1 6

0 0 9 0 1

f2 - 5f3. f4 + 35f3.

1 0 0 0 1 0 A 0 0 1 0 0 0
9/313f4.

2 46 11

9

1 20 4

9

0 1 2

99 9 313 131 9 9

9 16 9

0 5 9 1 9 35 9

0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 A 0 0 1 0 0 0

1 2 20 46 9 9 4 11 9 9 131 1 313

0 1 9 2 9 16 313

0 5 9 1 9 35 313

0 0 0 9 313

f1 - 2f4. f2 + 46/9f4. f3 – 11/9f4.

A

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

51 313 26 313 21 313 131 313
51 313 26 313 21 313 131 313

32 313 47 313 50 313 16 313
32 313 47 313 50 313 16 313

70 313 5313 8 313 35 313
70 313 5 313 8 313 35 313 10 313 46 313 11 313 9 313

10 313 46 313 11 313 9 313

A1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Simplificamos entonces tenemos:

51 313 26 313 A1 21 313 131 313

32 313 47 313 50 313 16 313

70 313 5 313 8 313 35 313

10 313 46 313 11 313 9 313

6. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o cualquier softwarelibre) para verificar el resultado del numeral anterior. Para esto, anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

Resultado con el software matemático Derive.

Fig 1. Pantalla de Derive.

7. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriztriangular). (Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma a/b a y NO con sus representaciones decimales).

B

1 1 3 0 0

0 1 0 0 4

9 3 4 0 0

2 2 2 3 1

1 1 1 2 1

Para resolver la determinante de ésta matriz, convertimos a B en una matriz triangular superior de la siguiente forma: f2 + f1. f3 + 3f1.

B

1 0 0 0 0

0 9 2 1 12 0 0 23 8 0 0 3 4 0 1

1 2...