Trabajo Algebra Solo 3 D As Para Acerlo

 
 
 
 
 
 

Factorización LU 
 
 
 
 
 
 
 
Integrantes 
                                                                                                             Rolando Alvarez 
                                                                                                                       Gerardo Matamala                                                                                                                   Enzo Silva 
                                                                           Sebastian Cruzat 
 
 
 

 

Introducción 
 
 
La factorización o descomposición  LU, es utilizada en el álgebra lineal para resolver de una 
manera más sencilla y corta, sistemas de ecuaciones. Este método consiste en que la matriz 
obtenida del sistema de ecuaciones, se descompone en dos matrices, utilizando operaciones elementales para encontrar la matriz L y la matriz U. 
Para esto se debe trabajar la matriz cuadrática A (matriz obtenida del sistema de ecuaciones), 
con el fin de obtener una matriz triangular superior, en este caso la matriz U, y una matriz 
triangular inferior que corresponde a la matriz L.  Todo esto se hace con el único fin de 
encontrar las incógnitas en el sistema de ecuaciones.  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Factorización LU 
 
En el ​
álgebra lineal​
, la factorización o descomposición LU (del ​
inglés​
 Lower­Upper) es una 
forma de ​
factorización​
 una ​
matriz​
 como el producto de una ​
matriz triangular inferior​
 y una 
superior​
. 
 
 
 
 
Ejemplo 
si se tiene las siguientes ecuaciones  

 Estas tiene que transformar en forma matricial quedando de la siguiente forma  
 
 

     

 

 
Donde tomamos la matriz de los coeficientes  como “A”  y los elementos libres como “B”  
Lo esencial es despejar las variables x , para esto se utiliza el metodo de factorizacion con el fin 
de poder obtener de una manera más simple las variables.  
 
 

 
 
 
 
 
 

Factorización LU 
 
 
 La factorización LU consiste en que la matriz  A  se divide en dos matrices triangulares. 
U es la matriz triangular superior y L es la matriz triangular inferior. Este proceso se lleva a cabo 
utilizando números como factores que multipliquen la primera fila de la matriz con la intención 
de eliminar el primer dato de la segunda fila, restando o sumando al valor el resultado de la multiplicación del espacio 1,1 de la matriz al valor 2,1. esto se hace sucesivamente hasta que 
todos los valores bajo la diagonal principal queden en 0.  
Lo mismo se hará con la fila 3, utilizando un factor que multiplicado al valor de la fila 1 de su 
columna correspondiente  deje el valor 3,1 en 0, y así sucesivamente hasta dejar todos los 
valores bajo la diagonal principal en 0.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M atriz U   
   
 
 
 Con lo siguiente se logró obtener una matriz U y la matriz L se consigue rellenando una matriz 
con la diagonal principal con unos y el resto de los valores en 0. Luego se toman los factores 
que se utilizaban anteriormente para obtener la matriz U  y reemplazarlos según corresponda 
bajo la diagonal principal. 
 
 
 
 
 
 
M atriz L 
M atriz U   
 
 

 Obtenidas ambas matrices se debe proceder a utilizar algoritmos de regresión y de progresión.  
 
La problemática principal que lleva a realizar factorizaciones LU o otros modos, es la de 
encontrar la matriz incógnita x, la cual esta presente en el sistema de ecuaciones matricial.  
 

A * x = b    ​

Es de aquí de donde viene todo.  

La matriz principal de la ecuación es representada por A, X las incógnitas y b los valores libres. Pero como se ha factorizado a se puede escribir de la siguiente forma.  
 

(L * U ) * X = b  
 
Entonces para poder resolver el sistema, se debe tomar lo siguiente, si L*U*X=b es lo mismo 
que decir L*Y = b donde Y es igual a  U*X= Y. 
 

L * U * X    =  b  −>  L * Y = b  
 
P ara Y :  U * X = b  
 ...