Trabajo Analisios Matematico 3

26. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación
en el punto P(1,2,3).

Solución:
Hallamos las derivadas parciales:
;
En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:
;
Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es:
, o bien, simplificando
y la ecuación de la recta normal es:

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27. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal al hiperboloide de ecuación

en el punto P(1,-1,4).

Solución:
Consideramos la función
Hallamos las derivadas parciales:
; ;
En el punto P(1,-1,4) las derivadas parciales son:
;;
Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,-1,4) es:
, o bien, simplificando
y la ecuación de la recta normal es:

nota: El vector gradiente puede simplificarse por el vector
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28. Halla las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie que sean paralelos al plano .

Solución:
Consideramos la función
Hallamos las derivadas parciales:
; ;
El vector gradiente es perpendicular a la superficie en el punto de tangencia y, por tanto, será paralelo al vector normal al plano dado luego sus componentes serán proporcionales:Despejando x, y, y z en función de t y sustituyendo en la ecuación de la superficie resulta . Luego los puntos de tangencia son P(1,2,2) y Q(-1,-2,-2), y el gradiente: y
Por consiguiente las ecuaciones de los planos tangentes son:
, o bien, simplificando y
, o bien, simplificando
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29. Dada la superficie se pide:
(a) Hallar laecuación del plano tangente a la superficie en el punto P(2,1,2).
(b) Usar el plano tangente para obtener una aproximación del valor de la función en el punto Q(1' 9, 1' 02).

Solución:
(a) La ecuación del plano tangente viene dada por:
Hallamos las derivadas parciales:
;
En el punto P(2, 1) las derivadas parciales son:
;
Luego la ecuación del plano tangente es:
´

16. Calcula, aplicando la definición,la derivada direccional de la función en el punto P(1,2) en la dirección que apunta hacia el origen.

Solución:
Hallamos el vector unitario de dirección y el punto genérico X.


Hallamos los valores correspondientes de la función:


Operando y simplificando obtenemos:

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17. Calcula, usando las derivadas parciales, la derivadadireccional de la función en el punto P(1,2) en la dirección que apunta hacia el origen.

Solución:
Hallamos el vector unitario de dirección.

Hallamos las derivadas parciales en el punto P(1, 2).


Hallamos el producto escalar:

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18. Calcula, usando las derivadas parciales, la derivada direccional de la función en el punto P(1,1) en elsentido del vector que forma un ángulo de 60º con el sentido positivo del eje OX.

Solución:
Hallamos el vector unitario de dirección.

Hallamos las derivadas parciales en el punto P(1, 1).
;
Hallamos el producto escalar:

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19. Calcula, aplicando la definición, la derivada direccional de la función en el punto P(1,0, -1) en elsentido del vector .

Solución:
Hallamos el vector unitario de dirección y el punto genérico X.


Hallamos los valores correspondientes de la función:


Calcule la derivada direccional de en el punto en la dirección del vector
Solución
 
Usando la definición (1), tenemos que :





y usando la regla de L'Hôpital




Esto nos dice que la razón de cambio deenen la dirección del vector es , es decir,queen esta dirección esta decreciendo. En la figura 1 se ilustra esta situación.
 

 
Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u
Derivada direccional


Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de en el punto en la dirección de un vector unitario arbitrario . Para esto consideramos la superficie con ecuación (la...