Trabajo de Matematica teoria de funcion lineal

Flavia Buffo
Marcela Caldarelli
Susana Orofino
Adriana Verdiell

Función lineal
 Sean

m, b  R fijos. Se llama función lineal a toda

función

f : R  R tal que para cada x R,

f ( x )  mx  b

(1)

Se mostrará que el gráfico de una función lineal es una
recta no vertical.

Rectas en el plano
Recordemos que…
 Si una recta no interseca al eje

x , o coincide con élse dice que la recta es horizontal.
y

x
 Si no interseca al eje y , o coincide con él se dice

que la recta es vertical.

 Si interseca a ambos ejes se dice que la recta es

oblicua.
Además,
 dos puntos del plano determinan una única recta.
y

P

Q
x

¿ Cómo se obtiene su ecuación ?

Ecuación de la recta por dos puntos
Sean dos puntos distintos P1  ( x1, y1 ), P2 ( x2, y2 ).
 Si

x1  x 2 y P  x, y 

es un punto cualquiera

de la recta entonces debe ser:
y


P2

x  x1

P  ( x, y )

(2)



P1 

x1

x

Observa que esta es la ecuación
de una recta vertical y no es el
gráfico de una función.

En particular, la ecuación del eje y es x  0 .

x1  x 2 y P  x, y es un punto cualquiera de la

 Si

recta, porsemejanza de triángulos se obtiene:
y

P



P2

y  y1



P1



x2  x1

y 2  y1

Q
x  x1

R

x

y  y1 y 2  y1

x  x1 x 2  x1
m

m

se llama pendiente de la recta.

(3)

De (3) resulta

y  y1  m( x  x1 )

(4)

Despejando y se obtiene la ecuación explícita de la
recta

y  mx  b

(5)

De la igualdad de (1) y (5) se deduce que toda rectano

vertical es la gráfica de una función lineal.

Si en la ecuación (5) es m  0, la recta es horizontal y
su ecuación es y  b.
y

m0
b



x1

P1

x

En particular, la ecuación del eje x es y  0.

Ahora puedes hacer
hasta el ejercicio 11

Intersecciones con los ejes coordenados
La recta de ecuación y  mx  b , m  0 , interseca al
eje y en (0,b) y al eje x en  b , 0  .


m 
y


(0,b)



b 
, 0

m 

x

b recibe el nombre de ordenada al origen.

¿ Cómo se grafica una recta si se conocen la pendiente y
un punto que pertenece a ella?
A partir de P1 si la abscisa se incrementa en una
unidad, la ordenada aumenta o disminuye m
unidades.

m0

y

P



P1


m

m0

y
P1
y  y1



x  x1
1
my1  y

1



x  x1

x

P

x

 Se llama ángulo de inclinación de la recta al ángulo

que ésta forma con el eje x medido desde el eje, en el
sentido anti-horario.
y
Observa que la pendiente da la
inclinación de la recta



x

Si m es la pendiente de la recta entonces,

m  tg().

Esta afirmación se justificará
en la unidad de Trigonometría.

y



Si
SiSi

m  0, la recta es horizontal ,

m  0, 0    ,
2

m  0,
   ,
2

Si la recta es vertical    / 2 .


2

x

Ahora puedes hacer
hasta el ejercicio 15
inclusive!!!

Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
P  (2,1) y Q  (8, 5).

y

usando la ecuación (3)
Q

5

P
1

y 1 5 1

x2 82





x
2

8

2
y  (x  2)  1,
3
2
1
y x .
3
3

Ejemplo 2:
Hallar la ecuación de la recta que pasa el punto P  (1, 2)
y tiene pendiente

 1.

Usando la ecuación (4)

y

resulta
2



1

y  2  1( x  1),
y   x  3.

1



x
1

Ejemplo 3:
Dada la recta de ecuación y  2x  3 hallar las
intersecciones con los ejes coordenados y graficarla.

y

Intersección con eleje y : P  (0, 3)
Intersección con el

eje x :

3
3 
0  2x  3, x  , Q   , 0 
2
2 

3



P

Q


x

3
2

Ahora puedes hacer
los ejercicios 13 y 14.

Paralelismo y perpendicularidad
Dos rectas de ecuación r1 : y  m1 x  b1 ; r2 : y  m2 x  b2
son paralelas si y sólo si
r1

r2

m1  m2
Notación

r1 // r2
son perpendiculares si y sólo si m1 ...