TRABAJO DE MATEMATICAS

Artículo principal: Logaritmo en base imaginaria
Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmula anterior sólo es una de las posibles soluciones ya que la ecuación:

admite no sólo la solucióndada anteriormente sino que cualquier x de la forma:

también es solución.
Matrices
Artículo principal: Logaritmo de una matriz
Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:

A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre. En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definidopara todos y cada uno de los autovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es logaritmo de una matriz con autovalores positivos es otra matriz real. Si el 0 es un autovalor de la matriz, entonces su logaritmo no está definido.
Si el logaritmo está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores y estos incluyen algún número negativo, aunasí es posible definir una matriz logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de números negativos o complejos), aunque no resulta única.
En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar primero su forma canónica de Jordan.
Logaritmo discreto
Artículo principal: Logaritmo discreto
Los logaritmos discretos son los análogos en teoríade grupos de los logaritmos ordinarios. En particular, un logaritmo ordinario loga(b) es una solución de la ecuación ax = b sobre números reales o números complejos. De manera similar, si g y h son elementos de un grupo cíclico finito G, entonces una solución x de la ecuación gx = h es llamada logaritmo discreto en la base g de h en el grupo G.
Si (G,·) es un grupo cíclico finito de orden n,donde · es el operador multiplicación, si se escoge un generador g de G, entonces cada elemento h de G puede ser escrito como h = gk para algún entero k, de manera que la función

asigna a cada h la clase de equivalencia módulo n de k, esto es, todos los k que cumplan que h ≡ gk mod n.
Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografía, en especial en el método de intercambio de claves deDiffie-Hellman o en el sistema de El Gamal.
Historia
John Napier (Neper), fue el primero que definió y desarrolló los logaritmos.
El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel,concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución decálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura deun sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.
Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi...