trabajo de quimica

Serie armónica (matemática)
En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...
Propiedades
Divergencia de la serie armónica
La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:


Que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales.
Otras series, como la suma delos inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).
Convergencia de la serie armónica alternada
La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.
Serie armónica parcial
Representación
Si definimos el n-ésimo  número armónico como:

Entonces Hn crece aproximadamentetan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral

Cuyo valor es log(n).
Con más precisión, tenemos el límite:

Donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.
Se puede demostrar que:
1. El único Hn que es entero es H1.
2. La diferencia Hm - Hn donde m>n nunca es entera.
Entre las representaciones para Hn, en las que n puede ser un númerofraccionario o negativo (no entero) están:

Dada1 por Leonhard Euler.
Y también

Donde Ψ(n+1) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni.
Conexión con la hipótesis de Riemann
Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación:

Donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.


Serie armónica generalizada
Las series armónicasgeneralizadas se definen de la siguiente forma:

Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.
P-series
La p-serie es (cualquiera de) las series

Para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta deRiemann evaluada en p.
Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

Serie geométrica
Para sumas finitas, véase progresión geométrica.
En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.
Por ejemplo la serie

es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por 1/2.
Razóncomún
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.
El comportamiento de los términos depende de la razón común r:
Si  los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
Si  o  los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos tambiénaumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.
Si r es igual a uno, todos los términos de la serie son iguales. La serie diverge.
Si r es igual a menos uno, los términos alternan su valor. La suma de los términos oscila; es un tipo distinto de divergencia (véase por ejemplo la serie de Grandi).
Suma
La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen acero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
Formula
Para, la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:

Donde a es el primer término de la serie y r la razón común....