Trabajo Del Ciudad
Páginas: 21 (5002 palabras)
Publicado: 28 de noviembre de 2012
ISFT N° 118 MATEMÁTICAS - ALIMENTOS
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TEMA 9 - TEORÍA
1. ECUACIONES LINEALES Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones linealescon 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura 9.1.
Figura 9.1 Representación gráfica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuacioneslineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: a11 ・ x1 + a12 ・ x2 + a13 ・ x3 + ・ ・ ・ + a1n ・ xn = b1 a21 ・ x1 + a22 ・ x2 + a23 ・x3 + ・ ・ ・ + a2n ・ xn = b2 ... am1 ・ x1 + am2 ・ x2 + am3 ・ x3 + ・ ・ ・ + amn ・ xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
MATEMÁTICAS – ALIMENTOS - TEMA 9 – TEORÍA – Fecha de impresión: 22 de mayo de 2011
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TEMA 9 - TEORÍA
Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bjse denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.
EJEMPLOS Los siguientes son ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales: 1. 2x + y = 6 3x - 4y = 7 2. 2x1 + x2 - x3 = 17 x1 + 4x2 + 5x3 = 1 3x1 -x2 - 7x3 = -12
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos soluciones. que dos sistemas son equivalentes cuando tienen
para las
que
se
mismas
2.1. Tipos de sistemas En general, dentro del alcance del presente curso, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales . Dependiendo del posiblenúmero de tales soluciones reales que tenga un sistema, éstos se pueden clasificar en: * INCOMPATIBLES (No tienen solución) → SI (Sistemas incompatibles). * COMPATIBLES (Tienen solución) → SC (Sistemas compatibles). * DETERMINADOS (Solución única) → SCD (Sistemas compatibles determinados). * INDETERMINADOS (Infinitas soluciones) → SCI (Sistemas compatibles indeterminados).
2.2. Sistemas condos incógnitas
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados. Hay varios siguientes: métodos para resolverlos, los más habituales son los
1. Sustitución 2. Igualación 3. Reducción A los que se pueden agregar:
MATEMÁTICAS – ALIMENTOS - TEMA 9 – TEORÍA – Fecha de impresión: 22 de mayo de 2011
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4. Gráfico 5. Por Determinantes
2.2.1. Resolución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución Sea el sistema 3x + y = 11 5x – y = 13 Primero en una de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas. Despejamos y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x. y = 11 - 3x El valor hallado se sustituye en la otra ecuación: 5x -(11 - 3x) = 13 Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la resolvemos 5x – 11 + 3x = 13 5x + 3x = 13 + 11
8x = 24
x = 3
Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema y = 11 - 3x
y = 11 - 9
y = 2
Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x = 3 e y = 2....
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1. ECUACIONES LINEALES Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones linealescon 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura 9.1.
Figura 9.1 Representación gráfica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuacioneslineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: a11 ・ x1 + a12 ・ x2 + a13 ・ x3 + ・ ・ ・ + a1n ・ xn = b1 a21 ・ x1 + a22 ・ x2 + a23 ・x3 + ・ ・ ・ + a2n ・ xn = b2 ... am1 ・ x1 + am2 ・ x2 + am3 ・ x3 + ・ ・ ・ + amn ・ xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
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Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bjse denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.
EJEMPLOS Los siguientes son ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales: 1. 2x + y = 6 3x - 4y = 7 2. 2x1 + x2 - x3 = 17 x1 + 4x2 + 5x3 = 1 3x1 -x2 - 7x3 = -12
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos soluciones. que dos sistemas son equivalentes cuando tienen
para las
que
se
mismas
2.1. Tipos de sistemas En general, dentro del alcance del presente curso, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales . Dependiendo del posiblenúmero de tales soluciones reales que tenga un sistema, éstos se pueden clasificar en: * INCOMPATIBLES (No tienen solución) → SI (Sistemas incompatibles). * COMPATIBLES (Tienen solución) → SC (Sistemas compatibles). * DETERMINADOS (Solución única) → SCD (Sistemas compatibles determinados). * INDETERMINADOS (Infinitas soluciones) → SCI (Sistemas compatibles indeterminados).
2.2. Sistemas condos incógnitas
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados. Hay varios siguientes: métodos para resolverlos, los más habituales son los
1. Sustitución 2. Igualación 3. Reducción A los que se pueden agregar:
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4. Gráfico 5. Por Determinantes
2.2.1. Resolución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución Sea el sistema 3x + y = 11 5x – y = 13 Primero en una de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas. Despejamos y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x. y = 11 - 3x El valor hallado se sustituye en la otra ecuación: 5x -(11 - 3x) = 13 Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la resolvemos 5x – 11 + 3x = 13 5x + 3x = 13 + 11
8x = 24
x = 3
Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema y = 11 - 3x
y = 11 - 9
y = 2
Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x = 3 e y = 2....
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