Trabajo Dual Cauchy

Fórmula integral de Cauchy
Esta fórmula, debida a Cauchy, es parte fundamental del Cálculo Integral de variable compleja.
Definición
Enunciado 1
Sea f(z) una función analítica en un dominiosimplemente conexo D. Entonces para cualquier punto  contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple también contenido en el interior de Dque contenga al punto se tiene

donde laintegración está tomada en sentido antihorario.
Enunciado 2
Sea  una función analítica sobre ,  un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y 

Siendo  un punto que no estésobre  ,  el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).

Teorema de los residuos
El teorema de los residuos esconsecuencia directa del teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.
Enunciado
Sea  una función analítica en un dominio simplemente conexo , excepto en unnúmero finito de puntos  que constituyen singularidades aisladas de . Sea  una curva en , simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene lassingularidades de . Entonces se tiene:

donde  es el Residuo de la función  en el punto singular .
Demostración
Sea  holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial  es cerrada.Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral  es igual a  siempre que  sea una curva homotópica con .
Enespecífico, podemos considerar una curva tipo  la cual tiene una rotación alrededor de los puntos  sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.
Ya que lacurva  sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de  alrededor de los círculos pequeños.
Consecuentemente sea  parametrización de la curva alrededor...