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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
De forma intuitiva se puede definir el límite de una función en un punto como el valor al que se
aproxima la función cuando la variable independiente se acerca al punto. Esta ideaintuitiva se
formaliza en la siguiente definición:
Se dice que el límite de f cuando x tiende a xo es el número real L, y se representa
lim f ( x ) = L , si para cada ε > 0 que fijemos, se puede encontrar algún δ > 0 verificando que para
x → xo

todo x ∈ D que cumpla 0 < x − xo < δ se verifica

f (x ) − L < ε .

Notar que para que esta definición tenga sentido es necesario que existan puntos cercanos axo que
sean del dominio de f, aunque no se necesita que f esté definida en xo .
Ejemplo 7: Aplicando la definición se va a comprobar que lim ( 4 x − 5) = 3 .
x →2

Tomando un valor cualquiera ε > 0 hay que encontrar un δ > 0

tal que si se cumple 0 < x − 2 < δ , se verifique

(4 x − 5) − 3 < ε .
Realizando operaciones en la última desigualdad con objeto de encontrar una relación entre δ y εqueda:
(4 x − 5) − 3 < ε

⇔

4x − 8 < ε

Como se ha de cumplir que 0 < x − 2 < δ , tomando δ =

ε
4

⇔

4 x −2 < ε

⇔

x −2 <

ε
4

se verifica la definición de límite.

Al estudiar el valor al que tiende una función cuando x se aproxima a un punto xo , a veces es
conveniente considerar por separado los valores próximos a xo que sean menores y los que sean
mayores que él. Esto da lugar a los límiteslaterales que se definen a continuación.
• Se dice que L1 es el límite por la derecha de f y se representa

lim f ( x ) = L1 , si la función

x → xo +

se aproxima a este valor al acercarse x a xo , siendo x > xo . Es decir, si para cada ε > 0 ,
existe δ > 0 tal que para todo x ∈ D que cumpla 0 < x − xo < δ se verifica f (x ) − L1 < ε .
• Se dice que L2 es el límite por la izquierda de f y serepresenta

lim f ( x ) = L2 , si la

x → xo −

función se aproxima a este valor al acercarse x a xo , siendo x < xo . Es decir, si para cada
ε > 0 , existe δ > 0 tal que para todo x ∈ D que cumpla 0 < xo − x < δ se verifica
f ( x ) − L2 < ε .

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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales devariable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

⎧1
Ejemplo 8: La función f (x ) = ⎨
⎩x

si x ≤ 0
si x > 0

cumple que lim f ( x ) = lim 1 = 1 y
x → 0−

x → 0−

cuya gráfica es

lim f (x ) = lim x = 0 según se ve en el dibujo.

x → 0+

x → 0+

Cuando tiene sentido calcular los dos límites laterales se verifica la siguiente equivalencia:
lim f ( x ) = L

x → xo

⇔

lim f (x )=

x → xo +

lim f ( x ) = L

x → xo −

Una consecuencia inmediata de esta equivalencia es que si los límites laterales cuando x → xo son
distintos, el límite de la función cuando x → xo no existe.
Ejemplo 9:
⎧1
a) En la función f (x ) = ⎨
⎩x

si x ≤ 0
si x > 0

del ejemplo 8, como sus límites laterales cuando x → 0 son distintos, se concluye

que no existe lim f (x ) .
x →0

⎧⎪3x
b) Dada f (x ) =⎨ 2
⎪⎩ x

si x ≤ 3
si x > 3

, para calcular lim f ( x) , como f (x) está definida de forma diferente antes y después del
x →3

punto x = 3, han de hallarse sus límites laterales quedando: lim f ( x) = lim x2 = 9 y
x →3+

x →3+

lim f (x ) = lim 3x = 9 .

x →3−

x →3−

Como los dos límites laterales coinciden, entonces existe el límite de la función y se verifica que:
lim f (x ) = lim f ( x) =lim f (x ) = 9

x →3+

c) lim

x →2

x →3−

x →3

x −2 = 0

Observar que en este caso no tiene sentido considerar valores menores que 2 ya que D = [2, +∞), por tanto, no tiene
sentido plantearse el límite por la izquierda cuando x → 2 y el límite calculado coincide con el límite por la derecha.

La definición de límite se puede extender para elementos infinitos teniendo en cuenta lo siguiente:
•...