Trabajo Matematicas Universitarias

Benemerita Universidad Autónoma de Puebla

Matematicas Universitarias I

Dibuja las graficas para cada una de las siguientes funciones y responde las preguntas
fx=x22-2 si 0<x<22-8x2 si 2<x

Existe limx→2f(x)?
limx→2+fx=limx→2+2-8x2=2-84=2-2=0

limx→2-fx=limx→x-x22-2=42-2=0

limx→2+=0=limx→2-

∴limx→2fx Si existe.

¿Cómo debería ser f(2) estardefinida para que "f" sea continua en x=2?
x22-2 si 0<x<20 si x=22-8x2 si 2<x

fx=x-1[x] Considerar 0≤x≤2. "f" Es continua en x=1?
(a) f1=1-11=0

(b) limx→1+x-11=1-11=0
limx→1-x-11=0-10=0

∴ limx→1x-1[1] Si existe

(c) limx→1fx=0=f(1)

∴ f Es continua en x=1

En cada uno de los siguientes casos "f" es definida por la formuladada solo si x≠0. ¿Cómo debería f(0) estar definida para hacer a "f" continua en x=0 ?
fx=(x+2)3-8x

Hay que calcular el limite cuando x→0 y lo que resulte es el valor que le daremos a f(0) para que sea continua.
limx→0x+23-8x= limx→0x3+6x2+12x+8-8x= limx→0x3+6x2+12xx

= limx→0x(x2+6x+12)x= limx→0x2+6x+12= 12

Por lo tanto para que "f" este definida, f(0) debe ser igual a 12

¿Lasiguiente función es continua en x=0?
x-x
Para determinar que la función es continua en x=0 obtendremos los limites laterales y si coinciden, el l{imite existe y la función es continua
limx→0- x-x
limx→0- x-x= 0--1=1
∴ limx→0-=1

Limx→0+ x-x
limx→0+ x-x= 0-0=0
∴ limx→0+=0

Por lo anterior, nos damos cuenta que los límites laterales nocoinciden y por lo tanto el límite no existe y la función no es continua ya que:

limx→0-≠limx→0+

Demostrar que 1x 12+x-12+14<ε si 0<x<δ
Donde δ es la mas pequeña de los números 1, 4ε (siendo ε positiva). Pasar esta situación dentro de un estado de la forma: limx→x0 fx=A, especificando que valores tomas para "x0", "f " y "A"
Entonces
1x 12+x-12+14 <ε siendo δ=min{1,4ε}
⟺1x 2-2-x22+x+14
⟹1x -x4+2x+14
⟹-14+2x+14
⟹-14+2x +14
⟹x8+4x = x8+4x = 18+4x x
Por otro lado.
x<1
⟹si x< δ ⟹ x<1 es decir -1<x<1
Haciendo cuentitas tenemos que llegar a x8+4x, entonces.
4-1<4x<41
⟹-4<4x<4
⟹-4+8<4x+8<4+8
⟹4<4x+8<12
⟹4<8+4x ∧ 8+4x<12
∴ 14<18+4x ∧ 18+4x< 112

∴ 14<18+4x< 112
Así si x< δ ⟹ 18+4x<14 y por otro lado sí 0<x<δ entonces

1x 12+x-12+14 <14x<14δ , así si 0<x<δ
⟹ 1x 12+x-12+14<14δ<ε ya que

Sí δ=1 ⟹δ141<4ε14=ε y Sí δ=4ε ⟹14δ=4ε14=ε

Por lo tanto se cumple para δ=1 y para δ=4ε. Entonces;

fx=14+2x L=-14 x0=0

Sea fx= (1-cos2x). Demuestre queno es diferenciable en los puntosx=±π, x=±2π,…,x=±nπ (n ϵ Z) y encuentre las derivadas en esos puntos.
Sea X=nπ (n ϵ Z)
= limx→x0 fx- f(x0)x-x0 = limx→nπ f(x-fnπ)x-nπ
=limx→nπ(1-cos2x) -(1-cos2nπ)x-nπ
=limx→nπ(1-cos2x) x-nπ = limx→nπ2 sen2 xx-nπ
=limx→nπ2 senxn-nπ
Dos casos
1)
(a) Si x<nπ y si n es par, entonces
limx→nπ-2 senxx-nπ=lim⁡ x→nπ--2 sen x x-nπ
Por L´ Hòpitaltenemos que
lim⁡ x→nπ--2 cos x L=-2 (L) L=-2
(b) Si x<nπ y si n es impar, entonces
-
limx→nπ-2 senxx-nπ=lim⁡ x→nπ--2 sen x x-nπ

Por L´ Hòpital tenemos que
lim⁡ x→nπ--2 cos x 1=-2 (-1) 1=-2

2)
(a) Si x>nπ y si n es par, entonces
limx→nπ+2 senxx-nπ=lim⁡ x→nπ+-2 sen x x-nπ
Por L´ Hòpital tenemos que
lim⁡ x→nπ+2 cos x 1=2 (1) 1=2
(b)Si x>nπ y si n es impar, entonces
limx→nπ+2 senxx-nπ=lim⁡ x→nπ+-2 sen x x-nπ
Por L´ Hòpital tenemos que
lim⁡ x→nπ+2 cos x 1=-2 (-1) 1=2
Como los limites laterales no existen, el limite no existe:
∴ f no es diferenciable en estos puntos
La derivada lateral izquierda en X=nπ (n ϵ Z) es -2
La derivada lateral derecha en X=nπ (n ϵ Z) es 2

Para que valores de la exponente "n" (un...