Trabajo Matematicas

Observemos que en el espacio cartesiano, requerimos de tres coordenadas para ubicar cada punto correctamente, pero para representar una recta no sucede que necesitemos tres vectores distintos. Encambio, podemos utilizar su vector posición y su vector director para escribir la ecuación vectorial, tal como en el plano, la diferencia está en que ahora estos vectores tres coordenadas.
La ecuaciónvectorial de una recta, se escribe tal como la de una recta en el plano, pero extendiéndola a tres coordenadas . Es decir, la ecuación de la recta pasa por el punto y tiene dirección , dada por elvector . Sea un punto cualquiera de la recta , entonces , por lo tanto .
, con .
O también con .

Los puntos ¿son colineales? Si lo fueran, escribe la ecuación vectorial de la recta que los tiene.Podemos asegurar que los puntos son colineales si comparamos los vectores que tienen origen y extremo en estos puntos. Si estos vectores no son paralelos, los tres puntos no pueden estar en la mismarecta, porque en realidad serian como los vértices de un triángulo. Pero cuando son paralelos y como además, necesariamente, tienen un punto en común, entonces estos puntos están en la misma recta.Primero, verificamos si son paralelos:

.
¿Son paralelos? Para asegurar esto, podemos determinar si existe un número real , tal que
.
En efecto, si , entonces, igualando componente a componente,tenemos que y , de donde podemos inferir que . Por lo tanto, los puntos son colineales.
Para escribir la ecuación de la recta que contiene a podemos utilizar como vector de posición a y como vectordirector .
,

Ahora si utilizamos el vector y el vector , obtendríamos una ecuación diferente,
, pero que representa la misma recta.
Una misma recta que puede representarse mediante distintasecuaciones vectoriales. Esto sucede porque, por ejemplo, los vectores y representan la misma dirección. Por otra parte, cualquiera de los puntos que pertenecen a la recta puede utilizarse como vector...