Trabajo varios

Introducción
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales yen el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas delas matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales

Las transformaciones lineales dentro delálgebra lineal no solo juegan un papel importante por ser casos especiales de funciones definidas sobre espacios vectoriales si no porque aparecen en diversas áreas de la matemática tanto a nivel teórico como aplicado. El estudio de éste concepto aparece en el temario de los primeros cursos de álgebra lineal de las carreras de ingeniería y de matemáticas en donde los alumnos se enfrentan con losdistintos lenguajes abstractos propios del álgebra lineal (Dorier y Sierpinska, 2001). En los libros de texto Grossman, (s.f); Friedeberg (1982); Hefferon, (2000); Moore (s.f) se aborda al álgebra lineal de modo expositivo, el cual puede no dar el tiempo suficiente para que los alumnos construyan sus conocimientos de forma adecuada. Un intento 

1. DEFINICIÓN DE UN TRANSFORMACIÓN LINEAL

SeanV, W espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. Una función T de V EN W transforma vectores de V en vectores de W, impondremos condiciones para que T preserve las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalar, esto es, que seaequivalente sumar y multiplicar por escalar las pre imágenes en V como las imágenes en W.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Unatransformacion lineal de V a W es una funci´on T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

1. [pic]
2. [pic] donde k es un escalar.

2. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

3. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel deT es:

N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

• El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. [pic] dadoque [pic]
2. Dados [pic]
3. Dados [pic]

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. [pic]
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio. La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

El rango de una transformación lineal es la dimensión de laimagen.

rg(T) = dim(Im(T))

4. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para...