trabajo y energia para cuerpos rigidos

Cin´tica de Cuerpos R´
e
ıgidos: M´todos de
e
Trabajo y Energ´
ıa.
Jos´ Mar´ Rico Mart´
e
ıa
ınez
Departamento de Ingenier´ Mec´nica.
ıa
a
Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.8 + 1.5
CP 36730, Salamanca, Gto., M´xico
e
E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx
Alejandro Tadeo Ch´vez
a
Departamento de Ingenier´ Mecatr´nica.
ıa
oInstituto Tecnol´gico Superior de Irapuato
o
Carretera Irapuato-Silao Km. 12.5
CP 36614, Irapuato, Gto., M´xico
e
E-mail: altadeo@itesi.edu.mx

1

Introducci´n.
o

En estas notas, se presentan los fundamentos de la aplicaci´n del m´todo de
o
e
trabajo y energ´ a la cin´tica de los cuerpos r´
ıa
e
ıgidos. Esta tarea es mucho mas
sencilla que la deducci´n de las ecuaciones deNewton-Euler pues muchos de
o
los resultados obtenidos en la aplicaci´n del m´todo de trabajo y energ´ a la
o
e
ıa
cin´tica de part´
e
ıculas es inmediatamente aplicable para cuerpos r´
ıgidos. Por lo
tanto, unicamente restan tres tareas:
1. Determinaci´n de la energ´ cin´tica de un cuerpo r´
o
ıa e
ıgido sujeto a movimiento
plano general o alguno de sus casos particulares
(a) Traslaci´n
o(b) Rotaci´n alrededor de un eje fijo baric´ntrico.
o
e
(c) Rotaci´n alrededor de un eje fijo no baric´ntrico.
o
e
2. Mostrar que el trabajo realizado por las fuerzas internas cuando un cuerpo
r´
ıgido sufre un desplazamiento Euclideo o de cuerpo r´
ıgido es nulo.
3. Determinar el trabajo realizado por un par de fuerzas sobre un cuerpo
r´
ıgido sujeto a movimiento plano general.

1Es importante hacer notar que, a diferencia de las notas Cin´tica de Cuere
pos R´
ıgidos: Ecuaciones de Newton-Euler, en estas notas se supone de
inmediato la restricci´n de que cuerpo r´
o
ıgido est´ sujeto a movimiento plano
a
general.

2

Determinaci´n de la Energ´ Cin´tica de un
o
ıa
e
Cuerpo R´
ıgido Sujeto a Movimiento Plano General.

De la cin´tica de part´
e
ıculas esbien conocido que la energ´ cin´tica de una
ıa
e
part´
ıcula est´ dada por
a
T =

1
1
m | v |2 = m v · v.
2
2

(1)

Por lo tanto, la energ´ cin´tica de un cuerpo r´
ıa
e
ıgido B est´ dada por
a
T =
B

1
vM · vM dm,
2

(2)

donde M es una part´
ıcula arbitraria, cuya masa es d m. Expresando la velocidad
de la part´
ıcula en t´rminos de la velocidad del centro demasas, vea la figura 1
e
se tiene que

Figure 1: Relaci´n de las Velocidades de los Puntos G y M .
o
vM = vG + ω × rM/G
por lo tanto, la ecuaci´n (2) se reduce a
o
T

=

1
2

vG + ω × rM/G · vG + ω × rM/G dm
B

2

(3)

1
vG · vG + 2 vG · ω × rM/G + ω × rM/G · ω × rM/G
2 B
1
vG · vG
dm + vG · ω ×
rM/G dm
2
B
B
1
+ | ω |2
n × rM/G · n × rM/G dm
ˆ
ˆ
2
B

=
=dm

(4)

donde | ω | es la magnitud del vector velocidad angular ω y u es un vector
ˆ
unitario a lo largo de la direcci´n de la velocidad angular.
o
Es evidente que
M

dm

(5)

rM/G dm = 0

=

(6)

B

QG

=
B

IG,ˆ ,ˆ
nn

n × rM/G · n × rM/G dm =
ˆ
ˆ

=
B

rM/G × n · rM/G × n dm
ˆ
ˆ
B

(7)
Sustituyendo estos resultados en la ecuaci´n (4), se tiene quela energ´
o
ıa
cin´tica de un cuerpo r´
e
ıgido sujeto a movimiento plano general est´ dada por
a
T =

1
1
M | vG |2 + IG,ˆ ,ˆ | ω |2
nn
2
2

(8)

Ahora bien, sin p´rdida de generalidad, se supondr´ que el plano de movimiento
e
a
del cuerpo r´
ıgido es el plano X − Y , por lo tanto, la direcci´n del eje de rotaci´n
o
o
es la del eje Z y la energ´ cin´tica del cuerpo r´
ıae
ıgido sujeto a movimiento plano
general se reduce a
T =

2.1

1
1
M | vG |2 + IG,z,z | ω |2 .
2
2

(9)

Determinaci´n de la Energ´ Cin´tica de un Cuerpo
o
ıa
e
R´
ıgido Sujeto a Movimiento de Traslaci´n.
o

Si el cuerpo r´
ıgido est´ sujeto a movimiento de traslaci´n, se tiene que
a
o
ω = 0.
Por lo tanto, la energ´ cin´tica de un cuerpo r´
ıa
e
ıgido sujeto a...