Trabajo Y Energia

Soluciones ejercicios
Ejercicio 2.1 Demuestre las identidades
(a ׁ
b) × c = (a · c)

b − (

b · c)a.
(a ׁ
b) · c = a · (

b × c).
a ׁ
b
2
= a
2
b
2
− (a ·

b)2
.
Solución. Deben haber muchas demostraciones. La tercera es fácil pues
si φ es el ángulo entre a y 
b
a ׁ
b
2
= a
2
b
2
sin
2
φ =
= a
2
b
2
(1 − cos
2
φ)
= a
2
b
2
−a
2
b
2
cos
2
φ
= a
2
b
2
− (a ·

b)
2
.
La segunda, intercambiar la cruz con el punto, se demuestra así:
(a ׁ
b) · c = (aybz − azby)cx + (azbx − axbz)cy + (axby − aybx)cz
=cxaybz − cxazby + cyazbx − cyaxbz + czaxby − czaybx
y
a · (

b × c) = (bycz − bzcy)ax + (bzcx − bxcz)ay + (bxcy − bycx)az
= cxaybz − cxazby + cyazbx − cyaxbz + czaxby − czaybx18 Solucionesejercicios
resultan iguales. La primera es larga. Veamos la componente x de (a ×

b) × c, esta es:
(a ׁ
b)ycz − (a ׁ
b)zcy = (azbx − axbz)cz − (axby − aybx)cy =
czazbx − czaxbz − cyaxby +cyaybx = (cyay + czaz)bx − (czbz + cyby)ax =
(c · a − cxax)bx − (c ·

b − cxbx)ax = (c · a)bx − (c ·

b)ax,
de modo que es claro que algo similar ocurre con las otras dos componentes yluego
(a ׁ
b) × c = (c · a)

b − (c ·

b)a.
N
Ejercicio 2.2 Si los lados de un triángulo son a, b, c determine los ángulos
del triángulo.
Solución. Podemos obtenerlos de varias maneras,por ejemplo del teorema del coseno
c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab cos γ,
o bien
cos γ =
a
2
+ b
2
− c
2
2ab
,
y otras dos similares
cos α =
a
2
+ c
2
− b
2
2ac
,
cos β =
c
2
+ b2
− a
2
2bc
,
A
C
B
α
β
γ
a
b
c19
N
Ejercicio 2.3 Considere los puntos cuyas coordenadas son A = (1, 1, 1),
B = (1, 2, 1), C = (−1, 2, 0) determine
a) El área del triángulo ABC.
b)Los ángulos del triángulo ABC.
c) Las magnitudes de los lados del triángulo ABC.
d) Las alturas del triángulo ABC.
Solución. Los vectores con magnitud y dirección los lados del triángulo
pueden...