Trabajo

APORTE AL TRABAJO COLABORATIVO 2 DE ECUACIONES DIFERENCIALES

PRESENTADO POR
LUZ MILA MARTINEZ

TUTOR
JUAN JESUS CRUZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
PROGRAMA INGENIERIA INDUSTRIAL
CEAD DE SOGAMOSO
2011-07-22

INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales se utilizan como una herramienta para darle solución a diversos problemasprincipalmente en la rama de ingenierías, siendo así un instrumento teórico y a su vez una herramienta practica para la interpretación y la modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad de ahí se deriva su importancia para los ingenieros de cualquier disciplina. Es así que para la solución de ecuaciones diferenciales senecesita un previo conocimiento en calculo integral, diferencial derivación entre otras.

OBJETIVOS

* Conocer los conceptos básicos de series matemáticas.
* Reconocer la diferencia entre la aplicación de las series de potencias para E.D de primer orden y orden superior.
* Conocer los tipos de ecuaciones basados en métodos gráficos, numéricosen especial las series de potencias y las series de Taylor y Mauclaurin.

DESARROLLO
1. Determine la solución general de cada ecuación diferencial de segundo orden

a. Y “ + 36Y = 0
m2 +3m = 0
(m + 6) (m – 6)
M1 = - 6 y m2 = 6

Y = C1 e-6x + C2 e6x

b. 12 Y “ – 5 y – 2 Y = 0
12 m2 5 m – 2 = 0
m = - -5+ -(-5)2 -412(-2)2(12)
m = 5+-25+962 (12)m = 5+-12124
m1 = 5+1124 = 624 =23
mm2=5-1124 = 624 = -14
y = C1 e23x + C2 e14 x
2. Encuentre y clasifique las soluciones para cada ejercicio en los siguientes CASOS
Caso 1 soluciones reales y distintas
Caso 2 soluciones iguales y reales.
Caso 3 soluciones complejas y conjugadas.
* Y” + 9y = 0
m2 + 9m = 0
Caso 1 soluciones realesdistintas
(m+3) (m-3)
m1 = -3 y m2 = 3
Y = C1 e-3x + C2e3x

* 3y” + 2y’ +y =0
3m2 + 2m +1 = 0
Caso 3 Soluciones complejas y conjugadas
m= -2+-(2)2-43 (1)2(3)
m = -2+-4-122
m =-2+--86
m = -2+-226 =26 +-226 =-13+-2 3
y= C1e13x cos (23x +C2e13 x (23x)

* Y”-3y’ +2y = 0
m2-3m+2 =0
CASO 1 soluciones reales y distintas
(m-2) (m-1)
m1 = 2 y m2 =1Y =C1ezx +C2ex

* Y” -10y + 25y = 0 ecuación = m2-10m+25=0
CASO 2 soluciones iguales y reales
(m-5) (m-5) m1=5 y m2=5
Y = C1e5x+C2e5x

* Y”-10 y +4y = 0 ecuación = m2-10m+4=0
CASO 3 soluciones complejas y conjugadas.
m = -10+-(-10)2-4(4)2
m = 10+-100-162
m = 10+--842
m = 10+-2212
m = 10+-2212 = 102 +-2212 =5 +-212
y=C1e5xcos⁡(21x) +C2e5x(21x)

* Y”+ 4y –y =0 ecuación = m2+ 4m-1=0
m = -4+-(4)2-42
m = -4+-16-42
m = -4+-122 =-4+-232 =42+-232 =-2+-3
m= -2+-3

3. Encontrar solución para ecuaciones no homogéneas
* 9y”-4y = sen x
9m2-4m=0
m(9m-4) = 0
m1= 0 y m2 = 49
Yc = C1 +C2e49x

Y p = A cos x + B sen x
Yp = A (-sen x) + B cos x = -A sen X + B cos x
Y” p =-A cos x + B (-sen x) = -A cos x – B sen x
9y” p = 4y p = 9(-A cos x – B sen x) -4(A cos x + B sen x)
= -9 A cos x - 9 B sen x - 4 A cos x – 4 B sen x
= -13 A cos x – 13 B sen x = sen x
-13 A = 0 →A = 0
- 13 B = 1→ B = -113
Yp = (0) (A cos x) + (-1 13 sen x)
Y = C1 + C2 e49x -113sen x

* Y” -5y = x2 - 2xm2 - 5m = 0
m (m-5) = 0 m1 = 0 y m2 = 5
Yc = C1e0x x C2e5x
Yp = Ax2+ B x+ C
Y’p = 2A x +B
Y”p = 2 A
Y”p = -5Yp = 2 A – 5 (Ax2 -5B -5C)
= 2 A – 5 Ax2+5Bx -5C
= - 5 Ax2 -5Bx+2A-5C= X2- 2X
-5 a = 1 → A = -15
- 5B = - 2 → B = 25
2A– 5c = 0→2 (-13)-5c=0→ -25 =5c=0→ 25=5C→-225=c
Yp = -15x2+25x-225
Y = C1+ C2e5x- 15x2+25x-225...