Trabajo

Guía N°11 COMPLEMENTARIA
Función cuadrática y la Ecuación de Segundo Grado:
I.- La Ecuación de Segundo Grado:
La ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella en la cual el
mayor exponente de la incógnita es dos.
La ecuación de segundo grado con una incógnita, se expresa de la siguiente
forma:
ax 2 + bx + c = 0 ; ∀a, b, c ∈ ℜ ; a ≠ 0

En esta ecuación:
x : Es la incógnita.
a :Coeficiente numérico que acompaña a x 2
b : Coeficiente numérico que acompaña a x1
c : Coeficiente numérico que acompaña a x 0 , llamado también término
libre.
Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita:
Resolver una ecuación de segundo grado es encontrar sus soluciones o
raíces, es decir, los valores que al sustituirse en la incógnita hacen
verdadera la igualdad.
Todaecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos soluciones
(también llamadas raíces de la ecuación).
Es importante entender que las soluciones son elementos de un conjunto
numérico dado (los naturales, los enteros, los racionales, etc), por ende la
existencia de solución se puede restringir a un conjunto numérico dado, de
tal manera que si la o las soluciones encontradas no pertenecen aese
conjunto, se descartan.
A continuación veremos distintos métodos para resolver ecuaciones de
segundo grado en el conjunto ℜ.

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a) Resolución por completación del trinomio cuadrado perfecto:
Este método corresponde a buscar un término que sumado a la ecuación
haga que su expresión corresponda al cuadrado de un binomio de la forma
(x ± p )2 con p ∈ ℜ.
Ejemplo:
Sea la siguienteecuación:
x 2 + 4x − 5 = 0
Comenzaremos, tratando de formar un cuadrado de binomio con los
términos en la variable " x" . Por ende lo primero que hacemos es despejar el
término libre de la ecuación:
x 2 + 4x = 5
Si x 2 + 4 x son los dos primeros términos de un cuadrado de binomio, es
decir, el cuadrado del primer término y el doble producto, el término que
sigue, el cuadrado del segundotérmino, será 4.
Escribimos entonces:

x 2 + 4x = 5

x 2 + 4x + 4 = 5 + 4
(Sumamos +4 en la derecha de la igualdad ya
que en la izquierda le agregamos +4 para formar el cuadrado de binomio).
( x + 2 )2 = 9
/ (aplicamos raíz cuadrada a la ecuación)

Entonces: x + 2 = + 9 ⇒ x + 2 = 3 ⇒ x1 = 1
x + 2 = − 9 ⇒ x + 2 = −3 ⇒ x 2 = −5

Finalmente, concluimos que las raíces o soluciones de laecuación son
x1 = 1 y x 2 = −5
b) Resolución por factorización.
Recordemos una de las distintas formas en que podemos factorizar una
expresión algebraica:
Sea x 2 − 7 x + 12 = 0
Como es un trinomio, lo más probable es que se pueda factorizar buscando
dos números tales que multiplicados resulten +12 y sumados -7. Esos
números son el -4 y -3.

2

Por ende esta ecuación nos quedaría factorizadaasí:
x 2 − 7 x + 12 = 0
(x − 4)(x − 3) = 0
cuando a = 0 ∨ b = 0

Recordando que a ⋅ b = 0
x1 − 4 = 0 ∨ x 2 − 3 = 0
Luego las soluciones son las siguientes:

x1 = 4 ∨

x2 = 3

c) Resolución por la fórmula de la ecuación de segundo grado.
Sabemos que una ecuación de segundo grado con una incógnita la
escribimos en general así:
ax 2 + bx + c = 0 ; ∀a, b, c ∈ ℜ ; a ≠ 0
La fórmula paracalcular las soluciones o las raíces de una ecuación de
segundo grado con una incógnita es:
− b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
x=
2⋅a

Ejemplo:
Sea

x 2 − 2x − 3 = 0

Primero identificamos los coeficientes numéricos de esta ecuación:
a = 1 ; b = −2 ; c = −3
Reemplazando en la fórmula tenemos:
x=

2±

(− 2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 3)
2 ⋅1

=

2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 8
=
=
2
2
2

Finalmentetenemos las siguientes soluciones:
x1 =

2 + 8 10
= =5
2
2

y x2 =

2−8 −6
=
= −3
2
2

El Discriminante de la ecuación de segundo grado:
− b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
En la fórmula general x =
que permite la resolución de
2⋅a
cualquier ecuación de segundo grado con una incógnita, la expresión
subradical b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c recibe el nombre de discriminante "∆" .
3

El discriminante...