Trabajo

PRÁCTICAS MÉTODOS MATEMÁTICOS



Trabajos laboratorio 2011-2012 (1)
1. Sabiendo que limn→∞1+1nn= e, calcular los 10 primeros términos de la sucesión 1+1nn con n=100k y k=1,…,10. Justificar la razón de la disparidad de los resultados.
>> syms n
>> syms k
>> for k=1:10
n=100^k
(1+1/n)^n
end
n =
100
ans =
2.7048
n =
10000
ans =
2.7181
n =1000000
ans =
2.7183
n =
100000000
ans =
2.7183
n =
1.0000e+010
ans =
2.7183
n =
1.0000e+012
ans =
2.7185
n =
1.0000e+014
ans =
2.7161
n =
1.0000e+016
ans =
1
n =
1.0000e+018
ans =
1
n =
1.0000e+020
ans =
1
La razón de la disparidad en los resultados es que al calcular el límite de la función nos da unaindeterminación 1∞ que se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e. Sin embargo, al calcular los términos de la sucesión, variando k de 1 a 10, va tomando un valor cada vez mayor pero sin llegar a ser infinito, lo que provoca que el termino 1/n tienda a cero y al sumarle 1 me quede 1 y éste elevado a un n muy grande distinto de infinito será 1, ya que 1 elevado a cualquiernúmero distinto de cero e infinito es siempre 1.
2. Sabiendo que lim n +∞ ((n2+3n)1/2 –n)=3/2, mediante la ejecución del archivo errores.m calcular los errores de truncamiento (absoluto y relativo) que se cometen al aproximar el límite por el quinto o el décimo término de la sucesión. Utilizar formato largo.
>> format long
>> n=5
n =
5
>> n5=((n^2+3*n)^(1/2))-n
n5 =1.32455532033676
>> n=10
n =
10
>> n10=((n^2+3*n)^(1/2))-n
n10 =
1.40175425099138
>> errores
Número exacto:3/2
Numero aproximado;n5 %Para calcular el error del quinto termino de la sucesion
error_absoluto =
0.17544467966324
error_relativo =
0.11696311977549
>> errores
Número exacto:3/2
Numero aproximado;n10 %Para calcular el error del decimotermino de la sucesion
error_absoluto =
0.09824574900862

error_relativo =
0.06549716600575

3. Sabiendo que:

repetir el ejercicio anterior reemplazando el integrando f(x)= por el polinomio de Taylor de grado 8 en un entorno del origen.
>> real=0.544987104184 %valor del integrando f(x)=e^(x^2)
real =
0.54498710418400
>> syms x
>>P=taylor(exp(x^2),x,9) % Polinomio de taylor de grado 8
P =
1+x^2+1/2*x^4+1/6*x^6+1/24*x^8
>>b=int(P,0,1/2)
b=
2109491/3870720
>> errores
Número exacto:real
Numero aproximado;b
error_absoluto =
3.833672010955525e-007

error_relativo =
7.034427019508319e-007

4. . Utilizando formato largo, aproximar la derivada de la función f(x)=sin(x) en x=1 mediante la fórmula (sin(1+h)-sin(1))/h con h=10 –k para k=5,6,…,16 comparando los resultados con el valor exacto. Comprobar la pérdida de precisión por cancelación.
>> format long
>> syms x
>> int(sin(x))
ans =
-cos(x)
>> int_exacta=-cos(1)
int_exacta =
-0.54030230586814
>> syms k
>> syms h
>> for k=5:16
h=10^(-k);
int_aproximada=(sin(1+h)-sin(1))/h;A(k,:)=[int_aproximada,abs(abs(int_exacta)-int_aproximada),abs((abs(int_exacta)-int_aproximada)/int_exacta)];
end
>> A(5:16,:)
ans =
0.54029809850586 0.00000420736228 0.00000778705223
0.54030188512133 0.00000042074681 0.00000077872481
0.54030226404045 0.00000004182769 0.00000007741535
0.54030230289825 0.00000000296989 0.00000000549671
0.54030235840941 0.000000052541270.00000009724420
0.54030224738710 0.00000005848104 0.00000010823762
0.54030113716408 0.00000116870406 0.00000216305585
0.54034554608506 0.00004324021692 0.00008002967312
0.53956838996783 0.00073391590031 0.00135834308376
0.54400928206633 0.00370697619819 0.00686092981267
0.55511151231258 0.01480920644444 0.02740911205375
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