Trabajo

Vectores en el espacio.-

Operaciones con vectores.


Expresión analítica de un vector.


Producto escalar de dos vectores. Propiedades.


Producto vectorial de dos vectores. Propiedades.


Producto mixto de tres vectores. Propiedades.

Objetivos Mínimos
- Concepto de vector en el espacio. Operciones con vectores.
- Vectores linealmentedependientes e independientes.
Base de un espacio vectorial tridimensional.
Coordenadas de un vector respecto a una base.
- Definición de producto escalar de vectores y su expresión analítica.
Aplicaciones del producto escalar de dos vectores:
• para hallar el ángulo entre ellos
• para determinar la proyección de un vector sobre otro
• para comprobar perpendicularidadentre ambos.
- Definición de producto vectorial y su expresión analítica. Aplicaciones del producto vectorial de dos vectores:
• para calcular el área del paralelogramo que determinan.
• para obtener un vector perpendicular a ambos.
- Definición de producto mixto de tres vectores y su expresión analítica.
Aplicación del producto mixto:
• para calcular elvolumen del paralelepípedo que determinan.

Introducción.-
El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la Fuerza o la Velocidad.
Es a finales del XVIII cuando Lagrange introduce las coordenadas, con lo que se aritmetiza el cálculo con magnitudes vectoriales.
Gauss los utilizó para representar losnúmeros complejos.
En el siglo XIX, Möbius se sirve de los vectores para resolver problemas geométricos, dándole sentido a las coordenadas. El primero que utiliza, en este siglo, la palabra vector es Hamilton.
Finalmente Grassmann amplió la teoría de vectores generalizándola a espacios de dimensión(n).



1. Operaciones con vectores.-
Las características de los vectores en el espacio, así comolas operaciones, son idénticas a las de los vectores en el plano. Recordamos que:
Un Vector es un segmento orientado.
A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector.
Todo vector se caracteriza por:
Módulo: que es la distancia del punto P al Q.
[pic] Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).
Sentido: para unvector, lo marca el del recorrido de P a Q.
(cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).

Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
Los vectores: [pic] y [pic] cumplen las tres condiciones de igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él.Todos ellos son representantes de un único vector.
Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra minúscula:[pic](por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el orígen y el extremo con una flecha encima: [pic](por ejemplo)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
Dado un número [pic] y un vector[pic] definimos el vector [pic] [o simplemente [pic]]como aquel que:
*tiene la misma dirección que [pic].
*el mismo sentido que [pic] si [pic] y
sentido contrario al de [pic] si [pic]
*su módulo es igual al de [pic] multiplicado por el valor absoluto de: [pic].
Si [pic] el vector [pic] se denomina opuesto del vector [pic], se escribe: [pic]
Si [pic] el vector [pic] es el vector cero: [pic] cuyo extremo y orígen coinciden.


SUMA Y RESTA DEVECTORES.
Dados dos vectores [pic] y [pic] cualesquiera.
Para poder sumarlos hay que tomar un representante de cada uno de ellos con orígen común(O).
En ese caso el vector suma: [pic] es la diagonal cuyo orígen es (O).
El vector resta: [pic] es la diagonal que va del extremo de[pic]al extremo de[pic].


2. Expresión analítica de un vector.-
Dados los vectores del espacio:[pic]...