Trabajo

IES “DIEGO GAITÁN”
Departamento de Matemáticas

José Antonio Ortega Ortega

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
Se distinguen tres métodos a lgebraicos d e resolución de sistemas:
• Sustitución
• Igualación
• Reducción
Notas:
1) Es importante insistir en que la solución de un sistema es u na pareja de
valores. E s decir la solución son dos números reales, uno deellos es el valor de
una de las incógnitas ( la 'x' en la mayoría de los ejercicios) y el otro el valor de
la otra ( normalmente la 'y'). Es un error muy frecuente el que alumnos como
vosotros den por terminado el ejercicio al encontrar el valor de la primera
incógnita.
2) Cada uno de los métodos que vamos a ver a continuación debe dar el mismo
resultado aplicado al mismo sistema. Si no esasí es que hay algún error.

Casos especiales
También puede ocurrir que el sistema en cuestión no tenga solución o que tenga
infinitas. Esto lo debes haber visto al estudiar los sistemas desde un punto de
vista geométrico. Desde esta perspectiva tenemos dos rectas del plano y tres
posibilidades:
• las rectas s e cortan en un punto ( sistema c ompatible determinado),
• las rectas son coincidentes ( sistema c ompatible indeterminado)
• las rectas son p aralelas ( sistema i ncompatible).
El siguiente cuadro nos muestra una clasificación de los sistemas lineales.

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José Antonio Ortega Ortega

SISTEMAS LINEALES

{

Compatibles

 tienen solucion 

{− Determinados
− Indeterminados

 solución única 
 infinitassoluciones 

Incompatibles
 no tienen solución 

Para poder distinguir unos casos de otros, al resolver el sistema de forma
algebraica, debemos seguir los pasos indicados según el método. Al llegar al
final podemos encontrarnos una de las cuatro situaciones siguientes:
• a x = b, con 'a' y 'b' dos números reales cualesquiera. En este caso
no hay problema al despejar x y el sistema tiene unaúnica solución.
Es, por tanto, c ompatible determinado.
• a x = 0 , con 'a', un número real cualquiera. En este caso al despejar
0
x nos quedaría x = = 0 . Por tanto el sistema tiene también una
a
única solución.
• 0 x = b , (ó 0 = b), con 'b' un número real cualquiera b ≠ 0. E n este
caso no es posible despejar 'x' pues la operación de dividir entre cero
es imposible (también puedeinterpretarse que 0 no puede ser igual a no
cero). Luego el sistema no tiene solución. Es incompatible.
• 0 x = 0, (ó 0 = 0). En este caso cualquier valor de x satisface la igualdad y ,
por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones que son los infinitos puntos de
las rectas coincidentes. Así el sistema es compatibe indeterminado. Este es
el caso más complicado de resolver. Se suele resolverhaciendo x = t,
t ∈ℝ y despejando y en función de 'x'. Veremos algún ejemplo más
adelante.

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José Antonio Ortega Ortega

1.Método de Sustitución
Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la
otra. A continuación explicamos claramente los pasos:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
1º) Se despeja una de las incógnitas enuna de las ecuaciones.
2º) Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra
ecuación. Obtenemos así una ecuación con una sola incógnita.
3º) Se resuelve esta ecuación.
4º) El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la ecuación
del paso 1º.
5º) Se comprueba la solución en el sistema inicial para
asegurarnos de que el resultado es correcto.

Ejemplos:
1º) Este es un ejemplo muybásico.

{xy=1
x − y =5
1  x =1− y
2   1− y − y =5

 despejamos x en la primera 
 sustituimos en la segunda 

3  Ahora resolvemos la ecuación en y :
1 − y − y =5  1 − 2 y =5  1− 5= 2 y 
−4
 − 4= 2 y 
= y  − 2= y
2
4  Sustituimos en 1  para hallar x :
x =1−−2 =1 2=3
5  Ahora comprobamos :
3−2 =3− 2=1
Se cumple la primera.
3−−2 =3 2=5.
Se cumple la...