Trabajo

Definición En un espacio vectorial euclídeo V se dice que dos vectores x, y son ortogonales si F(x, y) = 0
Definición Una familia de vectores {x1, ..., xp} se dice ortogonal si

F(xi, xk) = 0, ∀i6= k

Como ejemplos de familias de vectores ortogonales podemos considerar los llamados polinomios ortogonales: Legendre, Chebyshev, Laguerre, Hermite.

Definición Una base {ei} de un espaciovectorial euclideo se dice ortogonal si es una familia ortogonal. En particular, una base se dirá ortonormada si es ortogonal y sus vectores son unitarios, es decir, si:

F(ei, ek) = δi k (deltas deKronecker)

Por ejemplo, las familias compuestas por los n+1 primeros polinomios ortogonales son bases ortogonales y, convenientemente normalizadas, también son bases ortonormadas.

Definición Lascoordenadas de cualquier vector respecto de una base ortonormada se denominan coordenadas eucl´ıdeas o cartesianas y el sistema coordenado cartesiano.

Propiedad La coordenada i-´esima de un vectorx respecto de una base ortonormada {ei} est´a dada por:
xi = x · ei.

Corolario Si x es un vector unitario cualquiera, xi = cos(x, ei).

Definición Llamaremos cosenos directores de un vectorunitario a las coordenadas
de dicho vector unitario en una base ortonormada.
Hemos presentado ya varios ejemplos de familias ortogonales que son bases, veremos en
las siguientes líneas como encontraruna base ortonormada en forma general.

Teorema Dado un vector a ∈ V, a es distinto de 0, para cada x ∈ V , existen un solo t ∈ IR y un solo vector v ∈ V tales que:
x = ta + v y a · v = 0Definición Los vectores {vr+1, · · · , vn} componen una base ortonormada de un subespacio S de V denominado complemento ortogonal de S.

En el espacio euclídeo V, (V, F), consideraremos basesortonormadas, Bv y B¯v. Sea P la
matriz del cambio de la base Bv a la B¯v, es decir tal que X = P ¯X . El producto escalar se
expresa en ambas bases en la forma:
Si V es un espacio vectorial euclídeo de...